Искусство
Инженерная
Конспект
Лабы
ТОЭ
Математика
Курсовая
Физика

Черчение

Алгебра
Энергетика
Лекции
Сопромат
Контрольная
Информатика
Задачи

Математика задачи примеры решения

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Вычисление производной

Формулы вычисления производной некоторых элементарных функций получены в курсе средней школы:

1.      С' = 0, где С – константа.

2.      n) ' = n×xn-1, где n – натуральное число

3.      (ax)'= axlna, где а>0, a ¹ 1. В частности, (ех)' = ех

4.      , где а>0, a ¹ 1. В частности,

5.      (sinx)' = cosx

6.      (cosx)' = -sinx

В курсе средней школы установлены основные правила дифференцирования.

Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, дифференцируемые в точке х. Тогда в этой точке дифференцируемы функции u+v, u×v, . Последнее при условии, что v(x) ¹ 0. Причем

(u+v)' = u'+v'

(u×v)' = u'v+uv'

Следствием последних трех соотношений являются следующие два: (сu)' = cu', где с – константа, и (u-v)' = u'-v'

Используя правило нахождения производной частного, легко получаются формулы:   и , которые выполняются для любого х, при котором существует tgx и cosx ¹ 0 или существует ctgx и sinx¹0.

Производная Основные понятия Пусть дана функция y = f(x). Рассмотрим два значения ее аргумента: исходное х0 и новое х. Разности = х-х0 и D y = f(x)-f(x0) = y-y0 называются соответственно приращением аргумента и приращением функции в точке х0. Теорема ( о связи дифференцируемости и непрерывности). Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то она непрерывна в этой точке.

Производная обратной функции Теорема. Пусть функция х = f(y) монотонна и дифференцируема в некотором интервале (a, b) и имеет в точке у этого интервала производную f'(y), не равную нулю. Примеры. Найти производную функции.

Производная степенной функции с любым действительным показателем Известно, что (xn)' = nxn-1 для натурального n. Пусть теперь n любое дейст­вительное число и х>0. Справедливо тождество xn = enlnx. Тогда у = enlnx – сложная функция и ее производная вычисляется следующим образом: y' = (enlnx)' = enlnx(nlnx)' = enlnx =  xn = nxn-1.


Электротехника