Информатика и информационные технологии Электротехника История искусства Каталог графических примеров

 

Общие основы электротехники

 

Если в электрической цепи переходный режим завершается установившимся и до коммутации цепь также находилась в установившемся режиме, то полное представление о переходе от одного режима к другому может дать качественный анализ. Качественный анализ может быть полезен и тогда, когда коммутация цепи наступает до окончания переходного процесса.

Состояние цепи до коммутации и после окончания переходного процесса можно определить расчетом токов и напряжений с помощью методов анализа электрический цепей в установившемся режиме. В момент коммутации токи в индуктивностях и напряжения на емкостях сохраняют свое значение, а все остальные величины могут изменяться скачкообразно. При этом безусловно должны соблюдаться законы Кирхгофа, что позволяет определить значения всех величин в момент времени непосредственно следующий за коммутацией также методами расчета установившихся режимов. В результате, не прибегая к анализу дифференциальных уравнений, можно для всех токов и напряжений цепи указать значения в момент времени предшествующий коммутации, непосредственно следующий за ней, а также их значения после окончания переходного процесса. Собственно переходный процесс (его длительность и характер) также можно определить без получения полного решения дифференциальных уравнений. Методы расчета сложных цепей Применение законов Кирхгофа для расчета разветвленных электрических цепей. Теория электрических цепей Курс лекций и задач

Рассмотрим установившиеся режимы в цепи рис. 1 до и после коммутации ключа S (рис. 1). Для этой цепи до замыкания ключа ( t = 0- ) можно составить уравнения Кирхгофа в виде

i1 = i2 + i3 ;

uR1 + uR2 + uL = E = i1R1 + i2R2 + uL ;

uR3 + uC = uR2 + uL .

Но в установившемся режиме до коммутации производные по времени от токов и напряжений при E = const равны нулю, поэтому i3 = CduC/dt = 0; uR3 = i3R3 = 0 и uL = Ldi2/dt = 0. Поэтому i1 = i2 и из второго уравнения i1 = i2 = E/(R1 + R2). Соответственно uR1 = i1R1 = ER1/(R1 + R2) и uR2 = i2R2 = ER2/(R1 + R2), а из третьего уравнения uC = uR2.

Для послекоммутационного состояния цепи справедливы выражения

i1 = i2 + i3;

uR2 + uL = E = i2R2 + uL ;

uR3 + uC = uR2 + uL .

В установившемся режиме ( t = µ ), также как в докоммутационном интервале времени, i3 = CduC/dt = 0; uR3 = i3R3 = 0 и uL = Ldi2/dt = 0. Поэтому из второго и третьего уравнений uR2 = E = uC , а i1 = i2 = E/R2.

В момент времени непосредственно после коммутации ( t = 0+ ) i2(0+) = iL = i2(0- ) = E/(R1 + R2) и uC(0+) = uC(0- ) = ER2/(R1 + R2) . Отсюда uR2 = i2R2 = ER2/(R1 + R2). Тогда из второго уравнения uL = E-uR2 = ER1/(R1 + R2), а из третьего - uR3 = uR2 + uL-uC = ER1/(R1 + R2) = uL = i3R3 Юi3 = ER1/[(R1 + R2)R3]. Ток на входе цепи из первого уравнения будет i1 = i2 + i3 = E(R1+ R3)/[(R1 + R2)R3]

Для наглядности результаты проведенного анализа сведены в таблицу 

Величина

t = 0-

t = 0+

D (0)

t = µ

i1

E/(R1 + R2)

E(R1+R3)/[(R1+R2)R3]

ER1/[(R1 + R2)R3]

E/R2

i2

E/(R1 + R2)

E/(R1 + R2)

0

E/R2

i3

0

ER1/[(R1 + R2)R3]

ER1/[(R1 + R2)R3]

0

uR1

ER1/(R1 + R2)

0

-ER1/(R1 + R2)

0

uR2

ER2/(R1 + R2)

ER2/(R1 + R2)

0

E

uR3

0

ER1/(R1 + R2)

ER1/(R1 + R2)

0

uL

0

ER1/(R1 + R2)

ER1/(R1 + R2)

0

uC

ER2/(R1 + R2)

ER2/(R1 + R2)

0

E

Таким образом, при коммутации сохраняют свои значения (D (0)=0) только i2, uR2 и uC. Остальные величины скачкообразно изменяют свои значения. Причем для приращений токов D (0), как и для установившихся значений, соблюдается закон Кирхгофа Di1 = Di2 + Di3. Соблюдается он и для приращений напряжений

DuR1 + DuR2 + DuL = 0 ;

DuR3 + DuC = DuR2 + DuL.

Во втором контуре (L-C) при коммутации скачки напряжения на L и R3 взаимно компенсируют друг друга так, что uC сохраняется постоянным.


Характер и длительность переходного процесса полностью определяются корнями характеристического уравнения цепи. В свою очередь, корни характеристического уравнения зависят только от параметров пассивных элементов цепи и не зависят от действующих в ней источников электрической энергии, представленных как в явной форме, так и в форме накопленной энергии электрических и магнитных полей.

Характеристическое уравнение можно получить из схемы электрической цепи после коммутации, в которой все источники энергии заменены на эквивалентные сопротивления (источники ЭДС - перемычкой, а источники тока - разрывом цепи). Для этого нужно:

Решим задачу обоими способами для цепи рис. 2 а). После замены источника она приобретет вид рис. 2 б) и система уравнений Кирхгофа для такой цепи будет

Ток i3 из первого уравнения можно представить разностью i3 = i1-i2. Но из второго уравнения , поэтому

.

Подставим это выражение в третье уравнение, проинтегрируем и возьмем производную. Тогда мы получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно тока i2 в виде

.

Заменив производные на pk, получим характеристическое уравнение

(1)

Теперь мысленно произведем разрыв в точке, помеченной знаком (х) на рис. 2 б), и запишем выражение для комплексного сопротивления цепи относительно точек разрыва

.

Заменив в этом выражении jw на p и произведя необходимые преобразования, получим характеристическое уравнение

(2)

в точности совпадающее с (1).


Характеристическое уравнение позволяет получить качественное представление о переходном процессе в цепи. Количество корней уравнения в общем случае равно его порядку, а порядок уравнения определяется количеством независимых реактивных элементов электрической цепи. Теоретически порядок уравнения может быть любым, но на практике аналитическое решение уравнения выше четвертого порядка невозможно. В этом случае нужно либо упростить цепь, либо получить численное решение. Совокупность корней характеристического уравнения называется спектром корней.

Корни характеристического уравнения пассивной электрической цепи могут быть только либо вещественными числами, либо комплексно-сопряженными. Вещественная часть комплексно-сопряженных корней или вещественные корни определяют скорость изменения экспонент, образующих решение дифференциального уравнения для свободной составляющей. Если в цепи нет скрытых источников энергии, то запас ее в электрических и магнитных полях на момент коммутации должен со временем рассеяться, превратившись в тепло в резистивных элементах. В математическом выражении это означает, что значения всех экспонент составляющих решение со временем должны уменьшаться, а для этого вещественная часть их показателей должна быть отрицательной. Следовательно, отрицательными должны быть вещественные корни характеристического уравнения и отрицательной должна быть вещественная часть комплексно-сопряженных корней.

Каждый вещественный корень спектра (исключая кратные корни) соответствует экспоненте, уменьшающейся со временем до нуля. Каждая пара комплексно-сопряженных корней - переменной синусоидальной составляющей, амплитуда которой уменьшается по экспоненциальному закону с затуханием, определяемым вещественной частью корней, а частота колебаний соответствует их мнимой составляющей.

Скорость изменения каждой входящей в решение экспоненты обратно пропорциональна постоянной времени t . Чем больше постоянная времени, тем медленнее происходит затухание. Очевидно, что процесс закончится только после затухания экспоненты с самой большой t . В технике принято считать переходный процесс завершившимся, если отклонение не превышает 5% от установившегося значения. Для экспоненты это состояние наступает при t = 3t. Все сказанное означает, что для определения длительности переходного процесса нужно найти значение самой большой постоянной времени. Для этого достаточно выбрать из спектра кореньpkс самой малой по абсолютному значению вещественной частью (включая и вещественные корни) и взять обратную величину, т.е. tmax= 1/|Re[pk]| .

Отсутствие в цепи реактивных элементов означает отсутствие запаса энергии в полях в любой момент времени. Поэтому в такой цепи переходный процесс отсутствует и установившийся режим наступает сразу после коммутации. Наоборот, отсутствие резистивных элементов не позволяет преобразовать энергию электрического и магнитного поля в тепло и переходный процесс будет продолжаться бесконечно. Такой переходный процесс называется незатухающим. Он может быть только колебательным и спектр корней характеристического уравнения должен иметь пару комплексно-сопряженных чисел с нулевой вещественной частью.

Начертательная геометрия и инженерная графика, перспектива