Искусство
Инженерная
Конспект
Лабы
ТОЭ
Математика
Курсовая
Физика

Черчение

Алгебра
Энергетика
Лекции
Сопромат
Контрольная
Информатика
Задачи

Математика решебник примеры решения задачи

При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Введем ряд новых определений.

Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы – нули. Очевидно равенство A + (–1)A = 0. Здесь в правой части через 0 обозначена нулевая матрица той же размерности, что и матрица A.

Квадратная матрица размера n называется единичной, если все её элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные – нули. Единичную матрицу можно определить формулами:

 aij = 1 при i = j;

 aij = 0 при i ¹ j.

Очевидно, что первые три столбца матрицы (3) образуют единичную матрицу.

Единичная матрица, как правило, обозначается буквой E:
Курс лекций по математике Примеры решения типовых задач Решение дифференциальных уравнений

 .

Легко проверить справедливость равенств: EA = AE = A. Здесь A – квадратная матрица, и размеры A и E одинаковы.

Пусть A – квадратная матрица. Обратной матрицей к матрице A называется такая матрица A–1, для которой справедливы равенства:

 AA–1 = A–1A = E.

Очевидно, что A–1 – квадратная матрица того же размера, что и матрицаA. Сразу заметим, что не всякая квадратная матрица имеет обратную матрицу.

Поставим задачу: найти обратную матрицу к матрице

 .

Условие

,

где

,

сводится к трём системам уравнений, которые будем решать одновременно, используя метод Жордана-Гаусса. Матрица, представляющая расширенные матрицы всех трёх систем, примет вид

 .

Подвергая её преобразованиям по методу Жордана-Гаусса, последовательно будем получать:

 ÞÞ

 ÞÞ (4)

Как и в предыдущем примере, можно сказать, что три последних столбца образуют искомую матрицу, то есть

 .

Теперь сформулируем правило, по которому находится матрица, обратная к квадратной матрице А размера n.

Нужно выписать матрицу размерности n ´ 2n, первые n столбцов которой образованы матрицей А, а последние n столбцов образуют единичную матрицу Е. Построенная таким образом матрица преобразуется по методу Жордана-Гаусса так, чтобы на месте матрицы А получилась единичная матрица, если это возможно. Тогда на месте матрицы Е получается матрица А–1.

Если матрицу А нельзя методом Жордана-Гаусса преобразовать к единичной матрице, то А–1 не существует. Так матрица

 

не имеет обратной. Читатель может в этом убедиться самостоятельно.

Скалярной матрицей называется диагональная матрица с одинаковыми числами на главной диагонали; единичная матрица - частный случай скалярной матрицы.

Электротехника

Курсовой расчет
Лабораторные
Математика
Искусство