Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика курсовая примеры решения задачи

Свойства определителей 1. Определитель не меняется при транспонировании. 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. 3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак. 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Дифференциал функции

Величины r1 и r2 в формулах (2) при уменьшении Dx в k раз уменьшаются более чем в k раз, что можно видеть, сравнивая рисунки 3 и 4, и говорят, что r1 и r2 стремятся к нулю быстрее, чем Dx.

Назовем функцию b(z) бесконечно малой в точке z=z0, если . Аналитическая геометрия на плоскости

Пусть функции b(z) и g(z) являются бесконечно малыми в точке z=z0.. Функция b(z) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем функция g(z), если .

Величины r1 и r2 в формулах (2) являются функциями аргумента Dx, бесконечно малыми в точке Dx=0. Можно показать, что. Это означает, что функции r1(Dx) и r2(Dx) являются бесконечно малыми функциями более высокого порядка, чем Dx, в точке Dx=0.

Таким образом приращение функции y=f(x) в точке, в которой существует её производная, может быть представлено в виде

 Dy=f¢(x)Dx+b(Dx),

где b(Dx) ‑ бесконечно малая функция более высокого порядка, чем Dx, в точке Dx=0.

Главная, линейная относительно Dx, часть приращения функции y=f(x), равная f¢(x)Dx, называется дифференциалом и обозначается dy:

 dy=f¢(x)Dx. (3)

Если сюда подставить функцию f(x)=x, то, так как x¢=1, формула (3) примет вид: dx=Dx. Эта формула легко истолковывается с помощью графика функции y=x, из которого видно, что приращение этой функции содержит лишь главную часть. Таким образом, для функции y=x приращение совпадает с дифференциалом. Теперь формулу дифференциала (3) можно переписать так

 dy=f¢(x)dx.

Отсюда следует, что

 ,

то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента x.

Очевидны следующие свойства дифференциала.

1. dC=0 ( здесь и в следующей формуле C  постоянная );

2. d(Cf(x))=Cdf(x);

3. Если существуют df(x) и dg(x), то d(f(x)+g(x))=df(x)+dg(x), d(f(x)g(x))=g(x)df(x)+f(x)dg(x). Если при этом g(x)¹0, то  

Пусть y=f(x) ‑ функция, имеющая производную в точке x, тогда dy=df(x)=f¢(x)dx. Если аргумент x является функцией x(t) некоторой независимой переменной t, то y=F(t)=f(x(t)) сложная функция от t, и её дифференциал вычисляется по формуле dy=F¢(t)dt=f¢(x)x¢(t)dt. Однако по определению дифференциала x¢(t)dt=dx и последняя формула преобразуется к виду: dy=f¢(x)dx.

Таким образом если аргумент функции y=f(x) рассматривать как функцию другого аргумента так, что равенство Dx=dx не выполняется, формула дифференциала функции f(x) остается неизменной. Это свойство принято называть свойством инвариантности дифференциала.

Определитель, или детерминант — одна из важнейших характеристик квадратных матриц. Определитель матрицы размера n ? n равен ориентированному n-мерному объёму параллелепипеда, натянутого на её векторы-строки (или столбцы).
Функция нескольких переменных