Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика курсовая примеры решения задачи

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений

Для приведенного преобразования и для всех дальнейших преобразований не следует целиком переписывать всю систему, как это только что сделано. Исходную систему можно представить в виде таблицы

  . (3)

Прямоугольную таблицу, состоящую из p строк и q столбцов, будем называть матрицей размера p´q:

  .

Числа aij называются элементами матрицы. Первый индекс фиксирует номер строки, а второй – номер столбца, в которых стоит данный элемент. Если p = q, то есть число столбцов матрицы равно числу строк, то матрица называется квадратной. Элементы aii образуют главную диагональ матрицы. Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл

Матрица (3) называется расширенной матрицей для исходной системы уравнений. Если из расширенной матрицы удалить столбец свободных членов, то получится матрица коэффициентов системы, которую иногда называют просто матрицей системы.

Очевидно, что матрица коэффициентов квадратной системы является квадратной матрицей.

Каждую систему m линейных уравнений с n неизвестными можно представить в виде расширенной матрицы, содержащей m строк и n+1 столбцов. Каждую матрицу можно считать расширенной матрицей или матрицей коэффициентов некоторой системы линейных уравнений. Системе(2) соответствует расширенная матрица

 .

Преобразуем эту матрицу следующим образом:

1)первые две строки оставим без изменения, поскольку элемент a22 не равен нулю;

2)вместо третьей строки запишем разность между второй строкой и удвоенной третьей;

3)четвертую строку заменим разностью между удвоенной второй строкой и умноженной на 5 четвертой.

В результате получится матрица, соответствующая системе, у которой неизвестная x1 исключена из всех уравнений, кроме первого, а неизвестная x2 — из всех уравнений кроме первого и второго:

 .

Теперь исключим неизвестную x3 из четвертого уравнения. Для этого последнюю матрицу преобразуем так:

1)первые три строки оставим без изменения, так как a33 ¹ 0;

2)четвертую строку заменим разностью между третьей, умноженной на 39, и четвертой:

  .

Полученная матрица соответствует системе

  . (4)

Из последнего уравнения этой системы получаем x4 = 2. Подставив это значение в третье уравнение, получим x3 = 3. Теперь из второго уравнения следует, что x2= 1, а из первого — x1 = –1. Очевидно, что полученное решение единственно (так как единственным образом определяется значение x4, затем x3 и т. д.).

По определению, чтобы умножить матрицу на число, нужно умножить на это число все элементы матрицы. Суммой двух матриц одинаковой размерности, называется матрица той же размерности, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов слагаемых.
Функция нескольких переменных