Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика курсовая примеры решения задачи

Свойства определителей 1. Определитель не меняется при транспонировании. 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю. 3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак. 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Производные высших порядков.

Может оказаться что функция f¢(x), называемая первой производной, тоже имеет производную (f¢(x))¢. Эта производная называется второй производной функции f(x) и обозначается f¢¢(x). Если f есть координата движущейся точки и является функцией времени, то мгновенная скорость точки в момент времени t равна f¢(t), а ускорение равно f¢¢(t).

Вторая производная также может быть функцией, определенной на некотором множестве. Если эта функция имеет производную, то эта производная называется третьей производной функции f(x) и обозначается f¢¢¢(x).

Если определена n-я производная f(n)(x) и существует её произ­водная, то она называется (n+1)-й производной функции f(x): f(n+1)(x)=(f(n)(x))¢.

Все производные, начиная со второй, называются производными высших порядков.

Формула Лагранжа

Если функция непрерывна на замкнутом промежутке [a,b] и дифференцируема на открытом промежутке (a,b), то можно найти такую точку c, принадлежащую промежутку (a,b), для которой справедливо равенство: Частные производные функции нескольких переменных Частные производные первого порядка Пусть функция двух переменных z = f(x, у) определена в некоторой окрестности точки М(x, у) евклидова пространства Е2.

 f(b)-f(a)=f¢(c)(b-a). (1)

Эта формула называется формулой конечных приращений Лагранжа. Проведем наглядное обоснование этой формулы. Возьмем на графике функции f(x) точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)). Проведем через эти точки прямую AB. Проведем также прямую L, параллельную прямой AB, так, чтобы она не пересекала график функции f(x) на промежутке (a,b). Сохраняя параллельность L и AB, будем "надвигать" прямую L на график f(x) до тех пор, пока прямая L не коснется графика f(x) в некоторой точке c промежутка (a, b). Геометрическую точку касания обозначим буквой M, а через MN обозначим касательную к графику f(x), параллельную прямой AB. Очевидно, угловые коэффициенты прямых MN и AB (то есть тангенсы углов наклона прямых к оси абсцисс) равны. Угловой коэффициент прямой MN равен f¢(c), а угловой коэффициент прямой AB равен (f(b)f(b))/(b-a), и справедлива формула:

  .

Отсюда сразу получается формула (1). На приведенном рисунке видно, что могут существовать другие точки, принадлежащие промежутку (a,b), в которых касательные к графику функции f(x) параллельны прямой MN. Производную функции f(x), вычисленную в любой из этих точек, можно подставить в правую часть формулы (1) вместо множителя .

Сформулируем теорему о монотонности функции. Если f¢(x)>0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) возрастает. Если f¢(x)<0 на промежутке (a;b), то на (a;b) функция f(x) убывает.

Докажем эту теорему. Пусть t1 и t2— любые числа из промежутка (a;b), причем t2>t1. Тогда по теореме Лагранжа можно указать такое число c из промежутка (t1;t2), для которого справедливо равенство f(t2)–f(t1)=f¢(c)(t2–t1). Если f¢(x)>0 для всех x из промежутка (a;b), то f¢(c)>0, и из условия t2>t1 следует, что f(t2)–f(t1)>0. Таким образом, возрастание функции f(x) на промежутке (a;b) доказано. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Определитель, или детерминант — одна из важнейших характеристик квадратных матриц. Определитель матрицы размера n ? n равен ориентированному n-мерному объёму параллелепипеда, натянутого на её векторы-строки (или столбцы).
Функция нескольких переменных