Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика решебник примеры решения задачи

Так как определение конечного предела ФНП совершенно аналогично определению конечного предела функции одной переменной, то для ФНП остаются справедливыми все свойства пределов, а также теоремы о конечных пределах, о бесконечно малых и бесконечно больших функциях, изученные ранее для функций одной переменной.

Выпуклость и вогнутость функции

Пусть функция f(x) имеет производную в каждой точке промежутка (a;b). Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен выше любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется вогнутой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вниз").

Если на промежутке (a;b) график функции f(x) расположен ниже любой своей касательной, проведенной в точке этого промежутка, то функция называется выпуклой на этом промежутке (иногда говорят "выпуклой вверх").

 

Точка x0 называется точкой перегиба функции f(x), если в этой точке функция имеет производную и существуют два промежутка: (a;x0) и (x0;b), на одном из которых функция выпукла, а на другом вогнута.

Вычислить длину астроиды . Геометрические приложения криволинейных интегралов

 

Будем называть функцию возрастающей в точке x0, если она непрерывна в этой точке и возрастает в некоторой ее окрестности. Подобным образом можно определить функцию, убывающую в точке.

Приведем без доказательства важную для исследования функций теорему.

Если f¢¢(x)>0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) вогнута. Если f¢¢(x)<0 на промежутке (a;b), то на этом промежутке функция f(x) выпукла.

Из положительности второй производной функции на промежутке следует возрастание первой производной на этом промежутке, а это, как показано на рисунке 5,–признак вогнутой функции. Аналогичным образом иллюстрируется второе утверждение теоремы.

Если x0 – точка перегиба функции f(x), то f¢¢(x0)=0.

Приведем другую формулировку достаточных условий экстремума функции.

Если в точке x0 выполняются условия:

1) f¢(x0)=0; f¢¢(x0)<0, тогда x0 – точка максимума;

2) f¢(x0)=0; f¢¢(x0)>0, тогда x0 – точка минимума;

3) f¢(x0)=0; f¢¢(x0)=0, тогда вопрос о поведении функции в точке остается открытым. Здесь может быть экстремум, например в точке x0=0 у функции y=x4, но может его не быть, например в точке x0=0 у функции y=x5. В этом случае для решения вопроса о наличии экстремума в стационарной точке можно использовать достаточные условия экстремума, приведенные выше.

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Функция нескольких переменных