Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика решебник примеры решения задачи

Так как определение конечного предела ФНП совершенно аналогично определению конечного предела функции одной переменной, то для ФНП остаются справедливыми все свойства пределов, а также теоремы о конечных пределах, о бесконечно малых и бесконечно больших функциях, изученные ранее для функций одной переменной.

Неопределенный интеграл.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке (a;b), если для всех xÎ(a;b) выполняется равенство F¢(x)=f(x).

Например, для функции x2 первообразной будет функция x3/3.

Если для F(x) установлено равенство dF(x)=f(x)dx, то F(x) ¾ первообразная для f(x), так как .

Рассмотрим две теоремы, которые называются теоремами об общем виде всех первообразных данной функции.

src="ris

Теорема 1. Если F(x) – первообразная для f(x) на (a;b), то F(x)+C, где C – число, тоже первообразная для f(x) на (a;b). брутфорс hydra

Доказательство.

  (F+C)¢=F¢+C¢=f+0= f

Вычислить длину параболы в интервале . Геометрические приложения криволинейных интегралов

По определению F + C ¾ первообразная для f.

Прежде чем рассмотреть теорему 2, докажем две вспомогательные теоремы.

Если функция g(x) постоянна на (a;b), то g¢(x)=0.

Доказательство.

Так как g(x)=C, справедливы равенства: g¢(x)=C¢=0 (здесь, как и ниже, через C обозначено произвольно выбранное число).

Если g¢(x)=0 при всех xÎ(a;b), то g(x)=C на (a;b).

Доказательство.

Пусть g¢(x)=0 во всех точках (a;b). Зафиксируем точку x1Î(a;b). Тогда для любой точки xÎ(a;b) по формуле Лагранжа имеем

 g(x)–g(x1)=g¢(x)(x–x1)

Так как xÎ(x; x1), а точки x и x1 принадлежат промежутку (a;b), то g¢(x)=0, откуда следует, что g(x)–g(x1)=0, то есть g(x)=g(x1)=const.

Теорема 2. Если F(x) есть первообразная для f(x) на промежутке (a;b), а G(x) – другая первообразная для f(x) на (a;b), то G=F+C, где C – число.

Доказательство.

Возьмем производную от разности G–F: (G–F)¢=G¢–F¢=
=f–f=0. Отсюда следует: G–F=C, где C ¾ число, то есть G=F+C.

Множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке (a;b) называется неопределенным интегралом и обозначается òf(x)dx. Если F(x) – первообразная для f(x), то òf(x)dx=F(x)+C, где C – произвольное число.

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
брутфорс hydra Функция нескольких переменных