Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика решебник примеры решения задачи

Так как определение конечного предела ФНП совершенно аналогично определению конечного предела функции одной переменной, то для ФНП остаются справедливыми все свойства пределов, а также теоремы о конечных пределах, о бесконечно малых и бесконечно больших функциях, изученные ранее для функций одной переменной.

Формула интегрирования по частям

Пусть u(x) и v(x) — дифференцируемые на некотором промежутке функции. Тогда

 (uv)¢=u¢v+v¢u

Отсюда следует

 ò(uv)¢dx=ò(u¢v+v¢u)dx=òu¢v dx+òv¢u dx

или

 ò uv¢dx = uv–ò u¢v dx .

Отсюда следует формула, которая называется формулой интегрирования по частям:

 òu(x)dv(x) = u(x) v(x)–òv(x)du(x)

Приведем примеры применения формулы интегрирования по частям.

Примеры. 1. I = òx cosx dx. Пусть u = x; dv = cosx dx, тогда du = dx; v = sinx. Отсюда по формуле интегрирования по частям получается:

 I=xsinx–òsinxdx=xsinx+cosx+C. Задача . Вычислить , если l задана уравнением Решение. Воспользуемся формулой вычисления криволинейного интеграла I рода для кривой, заданной в полярных координатах

2. I=ò(x2–3x+2)e5xdx. Пусть x2–3x+2=u; e5xdx=dv. Тогда
du=(2x–3)dx; .

 .

К последнему интегралу применим метод интегрирования по частям, полагая 2x-3=u; e5xdx=dv. Отсюда следует: du=2dx; , и окончательно получаем:

 

 .

3. ;

;

 

 

 .

В заключение покажем метод вычисления неопределенного интеграла, стоящего в приведенной выше таблице под номером 12:

.

Представим дробь  в виде суммы двух дробей:  и , и попытаемся найти неизвестные величины параметров A и B. Из равенства  получим систему уравнений

 

с решением . Отсюда следует:

.

Полученный интеграл в обиходе обычно называют “высоким логарифмом”. Метод, которым он был найден, называется методом “неопределенных коэффициентов”. Этот метод применяется при вычислении интегралов от дробей с числителем и знаменателем в виде многочленов.

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Функция нескольких переменных