Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика решебник примеры решения задачи

Так как определение конечного предела ФНП совершенно аналогично определению конечного предела функции одной переменной, то для ФНП остаются справедливыми все свойства пределов, а также теоремы о конечных пределах, о бесконечно малых и бесконечно больших функциях, изученные ранее для функций одной переменной.

Определенный интеграл

Пусть на промежутке [a;b] задана функция f(x). Будем считать функцию непрерывной, хотя это не обязательно. Выберем на промежутке [a;b] произвольные числа x1,x2,x3,¼,xn-1, удовлетворяющие условию:
a< x1,< x2<¼< xn-1,<b. Эти числа разбивают промежуток [a;b] на n более мелких промежутков: [a;x1],[x1;x2],¼[xn-1;b]. На каждом из этих промежутков выберем произвольно по одной точке: c1Î[a;x1],c2Î[x1;x2],¼cnÎ[xn-1;b].

Введем обозначения: Dx1=x1–a; Dx2=x2–x1;¼Dxn=b–xn-1.

Составим сумму:

 .

Она называется интегральной суммой функции f(x) по промежутку [a;b]. Очевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения промежутка и от выбора точекci.

Каждое слагаемое интеграль­ной суммы представляет собой площадь прямоугольника, покрытого штриховкой на рисунке 1. Элементы математической логики

Введем обозначение: l=max(Dxi), i=1,2,¼n.. Величину l иногда называют параметром разбиения.

Рассмотрим процесс, при котором число точек разбиения неограниченно возрастает таким образом, что величина l стремится к нулю. Определенным интегралом

 

от функции  по промежутку [a;b] называется предел, к которому стремится интегральная сумма при этом процессе, если предел существует:

 .

Если такой предел существует, то он не зависит от первоначального разбиения промежутка [a;b] и выбора точек ci.

Число a называется нижним пределом интегрирования, а число b ¾ верхним пределом интегрирования.

Производная - это предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю, если таковой предел существует.
Функция нескольких переменных