Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика типовые задания примеры решения задачи

Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Производная определенного интеграла по верхнему пределу в точке x равна значению подынтегральной функции в точке x. Отсюда следует, что функция  является первообразной для функции f(x), причем такой первообразной, которая принимает в точке x=a значение, равное нулю. Этот факт дает возможность представить определенный интеграл в виде

 . (1)

Пусть F(x) тоже является первообразной для функции f(x), тогда по теореме об общем виде всех первообразных функции I(x)=F(x)+C, где C — некоторое число. При этом правая часть формулы (1) принимает вид

  I(x)–I(a)=F(x)+C–(F(a)+C)=F(x)–F(a). (2)

Из формул (1) и (2) после замены x на b следует формула для вычисления определенного интеграла от функции f(t) по промежутку [a;b]:

 ,

которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Здесь F(x) — любая первообразная функции f(x).

Для того, чтобы вычислить определенный интеграл от функции f(x) по промежутку [a;b], нужно найти какую-либо первообразную F(x) функции f(x) и подсчитать разность значений первообразной в точках b и a. Разность этих значений первообразной принято обозначать символом.

Приведем примеры вычисления определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Примеры. 1. .

2. .

Сначала вычислим неопределенный интеграл от функции f(x)=xex. Используя метод интегрирования по частям, получаем: . В качестве первообразной функции f(x) выберем функцию ex(x–1) и применим формулу Ньютона-Лейбница:

I=ex(x–1)=1.

При вычислении определенных интегралов можно применять формулу замены переменной в определенном интеграле:

 .

Здесь a и b определяются, соответственно, из уравнений j(a)=a;j(b)=b, а функции f, j, j¢ должны быть непрерывны на соответствующих промежутках.

Пример:.

Сделаем замену: lnx=t или x=et, тогда если x=1, то t=0, а если x=e, то t=1. В результате получим:

src="ris

 .

При замене переменной в определенном интеграле не нужно возвращаться к исходной переменной интегрирования.

Вводится понятие производной высшего порядка, определяются правила вычисления производных суммы и произведения функций. Даётся определение дифференциала высшего порядка и выводится его связь с производными. Рассматриваются функции, заданные параметрически, изучается вопрос их дифференцирования. Вводится понятие вектор-функции скалярного аргумента, её предела и непрерывности.
Функция нескольких переменных