Дифференциал функции двух переменных
Рассмотрим функцию z=f(x,y), имеющую в точке Р0(х0,у0) частные производные f¢x(х0,у0) и f¢у(х0,у0). Перейдём от точки Р0 к точке R0(x0+Dx,y0+Dу), придавая переменным х и у в точке Р0 произвольные приращения Dx и Dу, соответственно. При этом функция в точке Р0 получит приращение
Df(х0,у0)= f(x0+Dx,y0+Dy)–f(x0,y0)=f(R0)–f(P0).
Если приращение функции f(x,y) можно представить в виде
Df(х0,у0)=f¢x(х0,у0)Dx+f¢у(х0,у0)Dу+a(Dx;Dу) Dx+b(Dx;Dу)Dу, (1)
где 
, то функция называется
дифференцируемой в точке Р0(х0,у0). Сумма первых двух слагаемых в правой части
равенства (1) называется дифференциалом функции f(x,y) в точке Р0 и обозначается
df(x0,y0): Найти неопределенныеинтегралы – решить методом по частям, используя примечание.
df(x0,y0)=f¢x(х0,у0)Dx+f¢у(х0,у0)Dу. (2)
Если точка, в которой вычисляется дифференциал не существенна, его принято обозначать просто df. Из определения следует, что дифференциал представляет собой главную часть приращения функции, линейную относительно приращений её аргументов. Полагая поочерёдно f(x,y)=х и f(x,y)=у, получим, что дифференциалы dх и dy независимых аргументов функции х и у равны соответственно Dx и Dу. Таким образом
df=f¢x dх+f¢у dу.
Раньше говорилось о том, что из существования частных производных в точке не следует непрерывности функции в этой точке. Однако, из справедливости равенства (1) следует
,
а это означает непрерывность функции в точке (х0,у0). Следовательно, дифференцируемая в точке функция обязательно непрерывна в этой точке.
Из сказанного следует, что существование обеих частных производных функции в точке не означает, что функция дифференцируема в этой точке. В курсе математического анализа доказывается теорема, что функция дифференцируема в точке, если обе частные производные этой функции непрерывны в этой точке.
На рисунке 1 график функции z=f(x,y) представляет собой поверхность F. Длина отрезка Р0Р равна значению функции z в точке P0,
то есть çР0Рç=f(x0,y0) (на рисунке для наглядности поверхность F выбрана так, что все рассматриваемые значения функции и приращения в точке P0 положительны, но это не ограничивает справедливости приведенных выше выводов и формул в общем случае). Координатами точек Q0, S0 и R0 являются пары чисел соответственно (x0,y0+Dу); (x0+Dx,y0) и (x0+Dx,y0+Dу), причём çQ0Qç=f(Q0), çS0Sç=f(S0) и çR0Rç=f(R0). Приращение Df(х0,у0)функции в точке Р0 равно çRR2ç.
Параллелограмм PQ1R1S1 лежит в плоскости, которая касается поверхности F в точке Р. Прямоугольник PQ2R2S2 расположен в горизонтальной плоскости. Очевидно:çQ2Q1ç=f¢y(x0,y0)Dy и çS2S1ç=f¢x(x0,y0)Dx.
Из легко доказываемого равенства
çR2R1ç=çS2S1ç+çQ2Q1ç
и формулы (2) следует, что дифференциал функции в точке Р0 равен çR2R1ç.
Так как df(x0,y0)» Df(x0,y0), дифференциал df даёт приближенное значение приращения функции при малых значениях приращений аргументов.