Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика типовые задания примеры решения задачи

Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Производная по направлению.

Пусть в плоскости XOY расположена точка M0(x0,y0). Зададим произвольный угол a и рассмотрим множество точек на той же плоскости, координаты которых определяются из формул

 x=x0+tcosa, y=y0+tsina. (1)

Здесь t ‑ параметр, который может быть равен любому числу. Из формул (1) следует:

 (y-y0)/(x-x0)=tga

Это означает, что все точки M(x,y), координаты которых удовлетворяют равенствам (1), лежат на прямой, проходящей через точку M0(x0,y0) и составляющей угол a с осью OX. Каждому значению t соответствует единственная точка M(x,y), лежащая на этой прямой, причем согласно формуле (1) из §1 расстояние между точками M0(x0,y0) и M(x,y) равно t. Можно считать эту прямую числовой осью с положительным направлением, определяемым возрастанием параметра t. Обозначим положительное направление этой оси символом l.

Производной функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0) по направлению l называется число

 . (2)

Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции область : плоскости . Решение. Для того чтобы найти образ области при отображении , нужно найти образ границы области , затем взять произвольную точку из области и найти ее образ.

Производной функции по направлению можно дать геометрическую интерпретацию. Если через прямую l, определяемую формулами (1), провести вертикальную плоскость P (на самом деле в трехмерном пространстве уравнения (1) определяют эту самую плоскость), то эта плоскость пересечет поверхность-график функции z=f(x,y) вдоль

некоторой пространственной кривой L. Тангенс угла между горизонтальной плоскостью и касательной к этой кривой в точке M0(x0,y0) равен производной функции в этой точке по направлению l.

Вводится понятие производной высшего порядка, определяются правила вычисления производных суммы и произведения функций. Даётся определение дифференциала высшего порядка и выводится его связь с производными. Рассматриваются функции, заданные параметрически, изучается вопрос их дифференцирования. Вводится понятие вектор-функции скалярного аргумента, её предела и непрерывности.
Функция нескольких переменных