Искусство
Инженерная
Конспект
Лабы
ТОЭ
Математика
Курсовая
Физика

Черчение

Алгебра
Энергетика
Лекции
Сопромат
Контрольная
Информатика
Задачи

Математика типовые задания примеры решения задачи

Функцию, имеющую конечную производную, называют дифференцируемой. Процесс вычисления производной называется дифференцированием.

Производная по направлению.

Функция f определяет для каждой точки области G вектор-градиент, исходящий из этой точки.

Возвратимся теперь к формуле (3). Ее правую часть мы можем рассматривать, как скалярное произведение векторов. Первый из них ‑ вектор-градиент функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0):

.

Второй – вектор . Это вектор, имеющий длину 1 и угол наклона к оси , равный a.

Теперь можно сделать вывод, что производная функции z=f(x,y) по направлению, определяемому углом a наклона к оси OX, в точке M0(x0,y0) может быть вычислена по формуле

 . (5)

Здесь b  ‑ угол между вектором  и вектором , задающим направление, по которому берется производная. Здесь также учтено, что . Криволинейный интеграл 2 рода Математика вычисление интеграла

Из формулы (5) можно сделать очень важное заключение: производная по направлению от функции z=f(x,y) в точке M0(x0,y0) достигает наибольшего значения, если это направление совпадает с направлением вектора-градиента функции в рассматриваемой точке, так как cosb£1, и равенство достигается только если b=0 (очевидно, что другие решения уравнения cosb=1  нас в данном случае не инте­ресуют). Иначе можно сказать, что вектор-градиент функции в точке направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в этой точке.

Кроме того из формулы (5) следует, что наибольшее значение производной по направлению в точке или наибольшее значение скорости возрастания функции в точке равно длине вектора-градиента функции в этой точке.

Пример. Требуется найти производную функции  по направлению, составляющему угол в 60° с осью OX, в точке (1;3).

Найдем частные производные функции:  Теперь можно определить градиент функции в точке (1;3): . Принимая во внимание равенство , воспользуемся формулой (4):

.

Вводится понятие производной высшего порядка, определяются правила вычисления производных суммы и произведения функций. Даётся определение дифференциала высшего порядка и выводится его связь с производными. Рассматриваются функции, заданные параметрически, изучается вопрос их дифференцирования. Вводится понятие вектор-функции скалярного аргумента, её предела и непрерывности.

Электротехника

Курсовой расчет
Лабораторные
Математика
Искусство