Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла Скачать горячие секретные картинки звезд

Математика типовые задания примеры решения задачи

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Экстремум функции двух переменных.

Точка M0(x0,y0) является точкой максимума (минимума) функции z=f(x,y), если найдется такая окрестность точки M0, что для всех точек M(x,y) из этой окрестности выполняется неравенство f(x,y)<f(x0,y0) (f(x,y)> f(x0,y0)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

src="ris src="ris

Сформулируем необходимое условие экстремума. Если в точке экстремума существует первая частная производная (по какому-либо аргументу), то она равна нулю. Градиент скалярного поля Математика вычисление интеграла

Точки экстремума дифференцируемой функции (то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области) надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Там, где выполняется необходимое условие, экстремума может и не быть (здесь полная аналогия с функцией одной переменной).

Пример:

z=xy; zx¢=y; zy¢=x; zx¢(0,0)=0; zy¢(0,0)=0.

Обе частные производные в точке (0,0) обращаются в 0. Однако точка (0,0) не является точкой экстремума, так как в ней самой z=0, а в любой её окрестности есть точки, где z(x,y)>0 (это точки, лежащие внутри первого и третьего координатных углов), и есть точки, где z(x,y)<0 (это точки, лежащие внутри второго и четвертого координатных углов).

Для ответа на вопрос, является ли точка области определения функции точкой экстремума, нужно использовать достаточное условие экстремума. Ниже приводится его формулировка.

Пусть zx¢(x0,y0)=0 и zy¢(x0,y0)=0, а вторые частные производные функции z непрерывны в некоторой окрестности точки (x0,y0). Введем обозначения: A=zxx¢¢(x0,y0); B=zxy¢¢(x0,y0); C=zyy¢¢(x0,y0); D=AC-B2.

Тогда, если D<0, то в точке (x0,y0) экстремума нет.

Если D>0, то в точке (x0,y0) экстремум функции z, причем если A>0, то минимум, а если A<0, то максимум.

Если D=0, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Исследование функции двух переменных на экстремум сводится к следующему: сначала выписываются необходимые условия экстремума:

 zx¢(x,y)=0;

  zy¢(x,y)=0

которые рассматриваются как система уравнений. Ее решением является некоторое множество точек. В каждой из этих точек вычисляются значения D и проверяется выполнение достаточных условий экстремума.

Эта глава посвящается методам отыскания экстремумов у функций многих переменных. Приводятся необходимое и достаточное условия экстремума, вводится понятие седловой точки. И наконец, рассматриваются условные экстремумы, а также метод Лагранжа отыскания условных экстремумов.
Функция нескольких переменных