Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика типовые задания примеры решения задачи

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Метод наименьших квадратов

Признаком наилучшей прямой считается минимум суммы квадратов отклонений фактических значений y, полученных из таблицы, от вычисленных по формуле (1). Эта сумма квадратов рассчитывается по формуле

S2=(y1–(a0+a1x1))2+(y2–(a0+a1x2))2+...+(yn–(a0+a1xn))2=

  .

Обратим внимание на то, что все xi и yi — известные из таблицы числа, а S2 есть функция двух переменных a0 и a1. Ротор (вихрь) векторного поля Математика вычисление интеграла

 S2=S2(a0,a1)


Можно показать, что график функции S2 выглядит примерно так, как изображено на рисунке. Единственная точка, в которой обе частные производные   и  равны нулю, является точкой минимума.

Отсюда следует, что точку минимума можно искать, используя лишь необходимые условия экстремума:

  , (2)

.  (3)

На самом деле для фунуции S2=S2(a0,a1) достаточно легко проверить выполнение достаточных условия экстремума, тогда не нужно обращаться к графику функции. Проверку выполнения достаточных условий предоставляем читателю сделать самому.

Уравнения (2) и (3) можно преобразовать:

 . (4)

Получилась так называемая система нормальных уравнений относительно неизвестных величин a0 и a1.

Формула (1) с параметрами a0, a1 определенными из системы (4), называется уравнением регрессии. Прямая линия, описываемая этим уравнением, называется линией регрессии. Для временных рядов обычно вместо слова “регрессия” употребляется слово тренд.

Если экспериментальные точки в плоскости  группируются вдоль некоторой кривой линии, то можно подобрать вместо формулы (1) другую подходящую формулу, например, y=a0+a1x+a2x2 или y=a0exp(a1x) с параметрами соответственно a0,a1,a2 и a0,a1, подставить ее в выражение  и искать минимум получившейся функции S2 при помощи частных производных по параметрам.

Упражнения

1.Найти частные производные первого порядка от следующих функций:

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

Эта глава посвящается методам отыскания экстремумов у функций многих переменных. Приводятся необходимое и достаточное условия экстремума, вводится понятие седловой точки. И наконец, рассматриваются условные экстремумы, а также метод Лагранжа отыскания условных экстремумов.
Функция нескольких переменных