Математика типовые задания примеры решения задачи

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если в уравнении

 y¢ = f(x,y).  (1)

f(x,y)=f1(x)f2(y), то такое уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными. Его общий вид:

 .

Предполагая, что f2(y)¹0, преобразуем последнее уравнение: Частные случаиобщего уравнения плоскости : By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

  .

В обеих частях полученного уравнения стоят дифференциалы некоторых функций аргумента х. Из равенства дифференциалов этих функций следует, что сами функции отличаются одна от другой на константу.

Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы.

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t=0 из рекламы получили информацию x0 человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t>0 число знающих о продукции людей равно x(t). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению

  .

Здесь k–положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргументаt:

  .

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифферен­циального уравнения:

 .

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC=D, получим равенство:

 x/(N–x)=eNkt+D,

из которого определим функцию x(t):

 .

Здесь E=e–D. Такого вида функция называется логистической, а её график – логистической кривой.

Если теперь учесть, что х(0)=х0 и положить х0=N/a, где a>0, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая функция примет вид:

  .

На рисунке 2 приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значе­ниях a. Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

С помощью логисти­ческой функции описыва­ются многие экономические, социаль­ные, технологичес­кие и биологические про­цессы, например, постоян­ный рост продаж, распростра­нение слухов, распространение техни­ческих новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.