Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика типовые задания примеры решения задачи

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Линейные дифференциальные уравнения

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение

 a0(x)y¢ + a1(x)y=B(x). (1)

При a0 ¹ 0 его можно представить в виде:

 y¢ + a(x)y = b(x), (2)

где a(x) = a1(x)/a0(x) и b(x) = B(x)/a0(x).

Если правые части (1) и (2) равны нулю, то эти уравнения называются однородными, в противном случае – неоднородными. Функции Понятие множества и их виды.

Если в уравнении (1) a0(x) = a0 и a1(x) = a1, то есть эти функции являются константами, то уравнение (1) называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим однородное уравнение Найти интеграл . Решение. Воспользуемся формулой интегрирования по частям: .

 y¢ + ay = 0. (3)

Перепишем его в виде:  или . Последнюю формулу можно рассматривать как равенство дифференциалов функций одного и того же аргумента x. Интегрируя это равенство, получаем lny = –ax + C, или y=e–ax+C, где C ‑ произвольная константа. Если теперь ввести обозначение eC=A, то можно представить так называемое общее решение уравнения (3) в виде:

 y = Ae–ax. (4)

Это решение зависит от неопределенной константы A, придавая которой различные значения, можно получить все множество интегральных кривых уравнения (3). Если мы хотим найти интегральную кривую, проходящую через точку (x1,y1), то нужно подставить координаты точки в формулу (4) и определить значение константы A. Сэтим значением константы A формула (4) будет определять лишь одну интегральную кривую или так называемое частное решение уравнения (3).

Как правило, задача ставится так: найти решение уравнения (3) при условии

  y(0)=y0. (5)

Последняя формула называется начальным условием для уравнения (3).

Дифференциальное уравнение (3) при начальном условии (5) имеет единственное решение, которое определяется формулой

 y(x) = y0e–ax. (6)

Эта глава посвящается методам отыскания экстремумов у функций многих переменных. Приводятся необходимое и достаточное условия экстремума, вводится понятие седловой точки. И наконец, рассматриваются условные экстремумы, а также метод Лагранжа отыскания условных экстремумов.
Функция нескольких переменных