Дифференциальное и интегральное исчисление Вычисление неопределенного интеграла

Математика типовые задания примеры решения задачи

Функции двух переменных допускают графическую иллюстрацию. Графиком функции z=f(x,y), заданной на некотором множестве D точек плоскости ХОУ, называется множество точек (x,y,z) пространства, у которых (x,y) принадлежит D, а z=f(x,y). В наиболее простых случаях такой график представляет собой некоторую поверхность.

Пример. Решить уравнение  при начальном условии y(1)=2. (Заметим, что в данном случае нельзя задавать начальное условие при x=0, так как это значение не принадлежит области B определения функции F

Для решения поставленной задачи можно было бы воспользоваться формулой (11), но мы пойдем другим путем: применим метод решения уравнений, которым была получена формула (11).

В нашем уравнении . Решение однородного уравнения  получается из формулы (10): Найти длину циклоиды, заданной в параметрическом виде вектором в интервале Тройные и двойные интегралы при решении задач

 . (12)

Реализуем теперь вариацию произвольной константы A, считая, что A=A(x) есть некоторая функция аргументаx. Тогда , и подставив это выражение вместе с приведенным выше выражением для y в исходное уравнение, получим:

 ,

откуда следует, что A¢(x)=x2 или . Если теперь подставить это в формулу (12), то получится общее решение исходного уравнения: . Спомощью начального условия найдем значение неопределенной константы C и выпишем решение поставленной задачи: .

Упражнения

1.Решить дифференциальные уравнения

1)

;

2)

;

3)

;

4)

;

5)

;

6)

;

7)

;

8)

;

9)

;

10)

.

11)

;

12)

;

13)

;

14)

;

15)

;

16)

;

Эта глава посвящается методам отыскания экстремумов у функций многих переменных. Приводятся необходимое и достаточное условия экстремума, вводится понятие седловой точки. И наконец, рассматриваются условные экстремумы, а также метод Лагранжа отыскания условных экстремумов.
Функция нескольких переменных