йНМЯОЕЙР ОН МЮВЕПРЮРЕКЭМНИ ЦЕНЛЕРПХХ хМФЕМЕПМЮЪ ЦПЮТХЙЮ юПУХРЕЙРСПЮ щбл хМТНПЛЮРХЙЮ Х ХМТНПЛЮЖХНММШЕ РЕУМНКНЦХХ

Предыдущий разделУровень вышеСледующий раздел

Преобразование логических выражений

Табличный способ определения истинности сложного выражения имеет ограниченное применение, так как при увеличении числа логических переменных приходится перебирать слишком много вариантов. В таких случаях используют способ приведения формул к нормальной форме. Формула имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки эквивалентности, импликации и двойного отрицания, а все знаки отрицания относятся только к переменным, а не к выражениям.

Следующие формулы преобразований дополняют сформулированные выше законы булевой алгебры и позволяют приводить формулы к нормальной форме.
!( !A) = A.
!(A && B) = !A || !B.
!(A || B) = !A && !B.
!(A -> B) = A && !B.
A -> B = !A || B.
<-> B = (A && B) ||  (!A &&  !B) =( !A || B) &&  (A || !B).

Знание законов математической логики позволяет решать так называемые логические задачи, возникающие в различных жизненных ситуациях. Воспользуемся исчислением высказываний для решения следующих двух задач.


Пример

Следователь допрашивал четырех гангстеров по делу о похищении автомобиля.


Джек сказал: "Если Том не угонял автомобиля, то его угнал Боб".


Боб сказал: "Если Джек не угонял автомобиля, то его угнал Том".


Фред сказал: "Если Том не угонял автомобиля, то его угнал Джек".


Том сказал: "Если Боб не угонял автомобиля, то его угнал я".

Удалось выяснить, что Боб солгал, а Том сказал правду. Правдивы ли показания Джека и Фреда? Кто угнал машину?


Решение
Определим следующие простые высказывания:
А - "машину угнал Боб"; В - "машину угнал Том";
С - "машину угнал Джек";    D - "машину угнал Фред".

Запишем (и сразу упростим) сложные высказывания, выражающие приведенные факты:
(1) !B -> A  =  !( !B) || A   =   B || A (истинность неизвестна);
(2) !C -> B  =  !( !C) || B = C || B = F (высказывание ложно);
(3) !B -> C  =  !( !B) || C = B || C = C || B (истинность неизвестна);
(4) !A -> B  =  !( !A) || B = A || B = T (высказывание истинно).

Заметим, что после упрощения высказывание (3) совпало с высказыванием (2), которое ложно. Таким образом, высказывание (3), произнесенное Фредом, также ложно.

Из ложности высказывания (2) следует ложность каждого дизъюнкта, входящего в него, т. е. C = F и B = F.

Подставив найденное значение B в высказывание (4) получаем A || B = A || F = T, что возможно лишь если A = T, т. е. машину угнал Боб.

Рассмотрим высказывание Джека (1): B || A = F || T = T - оно истинно.

Итак, Джек сказал правду, а Фред соврал. Машину угнал Боб.


Пример
Кто из людей A, B, C и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:
а) если А или В играет, то С не играет;
б) если В не играет, то играют С и D;
в) С играет.


Решение
Определим следующие простые высказывания:
А - "А играет в шахматы"; В - "В играет в шахматы";
С - "С играет в шахматы";    D - "D играет в шахматы".

Запишем сложные высказывания, выражающие известные факты:
a) (A && B) -> !C;
б) !B -> C && D;
в) C.

Запишем произведение (конъюнкцию) указанных сложных высказываний. Так как все они истинны, то и произведение тоже истинно:

((A || B) -> !C) && ( !B -> C && D) && C = T.

Упростив эту формулу, получим

!A && !B && C && D = T.

Отсюда по свойствам конъюнкции получаем, A = F, B = F, C = T, D = T. Значит, в шахматы играют C и D, а A и B - не играют.

Во многих задачах, связанных с обработкой данных, приходится упрощать логические выражения. Приведем пример, демонстрирующий технику упрощения логических формул.


Пример
Упростим логическую формулу !( (A || B) -> !( B || C)).


Решение
!( (A || B) -> !( B || C)) =
!( !(A || B) || !( B || C)) =
!( !(A || B)) && !( !( B || C)) =
(A || B) && (B || C) = { дистрибутивность операции ИЛИ }
(A || B) && B || ( A || B) && C =
A && B || B || A && C || B && C =
B && (A || T) || C && (A && B) =
B || A && C || B && C =
B && (T || C) || A && C = B || A && C.


Задания

  1. Упростите следующую логическую формулу и определите ее истинность:
    (A -> B) && (B -> (C || !A)) && (!D -> (A && !C)) && (D -> A).
  2. Определите значение формул:
    1) (( C || B) -> B) && ( A && B) -> B ;
    2) (( C || B) -> B) && ( A || B) -> B.
  3. В нарушении правил обмена валюты подозреваются четыре работника банка - A, B, C и D. Известно следующее:


    a) Если A нарушил, то и B нарушил правила обмена валюты.


    б) Если B нарушил, то и C нарушил или A не нарушал.


    в) Если D не нарушил, то A нарушил, а C не нарушал.


    г) Если D нарушил, то и A нарушил.


    Кто из подозреваемых нарушил правила обмена валюты? Решите задачу с помощью логических операций.

  4. Алеша, Боря и Гриша нашли в земле старинный сосуд. Рассматривая удивительную находку, каждый высказал по два предположения:


    Алеша: "Это сосуд греческий и изготовлен в V веке".


    Боря: "Это сосуд финикийский и изготовлен в III веке".


    Гриша: "Это сосуд не греческий и изготовлен в IV веке".


    Знакомый археолог определил, что каждый из них прав только в одном из двух предположений. Где и в каком веке изготовлен сосуд?


Предыдущий разделУровень вышеСледующий раздел

мЮВЕПРЮРЕКЭМЮЪ ЦЕНЛЕРПХЪ Х ХМФЕМЕПМЮЪ ЦПЮТХЙЮ, ОЕПЯОЕЙРХБЮ