йНМЯОЕЙР ОН МЮВЕПРЮРЕКЭМНИ ЦЕНЛЕРПХХ хМФЕМЕПМЮЪ ЦПЮТХЙЮ юПУХРЕЙРСПЮ щбл хМТНПЛЮРХЙЮ Х ХМТНПЛЮЖХНММШЕ РЕУМНКНЦХХ

Предыдущий разделУровень вышеСледующий раздел

Матричные вычисления

Maxima позволяет легко манипулировать матрицами. В следующем примере задаются две матрицы, которые затем складываются (+) и перемножаются (.):

 (C1) A:matrix([1,2],[3,4]); [ 1 2 ] (D1) [ ] [ 
3 4 ] (C2) B:matrix([1,1],[1,1]); [ 1 1 ] (D2) [ ] [ 1 1 ] (C3) A + B; [ 2 3 ] 
(D3) [ ] [ 4 5 ] (C4) A . B; [ 3 3 ] (D4) [ ] [ 7 7 ] 
Функция determinant вычисляет определитель матрицы.
 (C5) determinant(A); (D5) - 2 (C6) determinant(matrix([a,b],[c,d])); 
(D6) a d - b c 

Транспонирование матрицы осуществляется функцией transpose.

 (C7) transpose(A); [ 1 3 ] (D7) [ ] [ 2 4 ] 
Для получению обратной матрицы используется операция ^^-1 или функция invert.
 (C8) A^^-1; [ - 2 1 ] [ ] (D8) [ 3 1 ] [ - - - ] [ 2 2 ] (C9) invert(A); 
[ - 2 1 ] [ ] (D9) [ 3 1 ] [ - - - ] [ 2 2 ] 
Как известно, каждый элемент bij обратной матрицы B = A -1 получается делением алгебраического дополнения Aij соответствующего элемента исходной матрицы на ее определитель |A|. Для того чтобы вынести 1/|A| в качестве сомножителя применяется функция detout.
 (C10) invert(A), detout; [ 4 - 2 ] [ ] [ - 3 1 ] (D10) - ------------ 2 
Убедимся в правильности полученного результата, умножив A на обратную к ней матрицу:
 (C11) A . d9; [ 1 0 ] (D11) [ ] [ 0 1 ] 
Будьте внимательны: в результате выполнения операции ^-1 получится матрица, каждый элемент которой обратен элементу исходной, а не обратная матрица.
 (C12) A^-1; [	
1 ] [ 1 - ] [ 2 ] (D12) [ ] [ 1 1 ] [ - - ] [ 3 4 ] 

Использование матриц позволяет легко решать системы линейных уравнений с несколькими переменными. Пусть A - матрица коэффициентов системы, X - матрица неизвестных, B - матрица свободных членов системы. Тогда матрица X находится по формуле X = A -1 . B, где операция . означает матричное умножение.


Пример
Решим следующую систему уравнений матричным способом.

Сначала заполним соответствующие матрицы, а затем получим матрицу результатов:
 (C14) 
A:matrix([1, 2, 1], [2, 1, 1], [1, 3, 1]); [ 1 2 1 ] [ ] (D14) [ 2 1 1 ] [ ] [ 
1 3 1 ] (C15) B:matrix([0, 1, 0]); (D15) [ 0 1 0 ] (C16) (A^^-1).B; [ 1 ] [ ] 
(D16) [ 0 ] [ ] [ - 1 ] 


Задания

  1. Вычислите произведение матриц A.B и B.A, где
  2. Найдите определители матриц C и D.
  3. Для матрицы D найдите обратную, после чего проверьте, что в результате их произведения получается единичная матрица.
  4. Решите следующую систему уравнений матричным способом

Предыдущий разделУровень вышеСледующий раздел

мЮВЕПРЮРЕКЭМЮЪ ЦЕНЛЕРПХЪ Х ХМФЕМЕПМЮЪ ЦПЮТХЙЮ, ОЕПЯОЕЙРХБЮ