Информатика и информационные технологии Электротехника История искусства Каталог графических примеров

ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ.

 

2.3.3.2.1. Развертывающиеся линейчатые поверхности
2.3.3.2.2. Неразвертывающиеся (косые) линейчатые поверхности

Как уже отмечалось, поверхность называется линейчатой, если она может быть образована перемещением прямой линии. Поверхность, которая не может быть образована движением прямой линии, называется нелинейчатой. Например, конус вращения - линейчатая поверхность, а сфера - нелинейчатая. Через любую точку линейчатой поверхности можно провести, по крайней мере, одну прямую, целиком принадлежащую поверхности. Множество таких прямых представляет собой непрерывный каркас линейчатой поверхности. Линейчатые поверхности разделяются на два вида: 1) развертывающиеся поверхности;
2) неразвертывающиеся, или косые поверхности.
Примечание.
Все нелинейчатые поверхности являются неразвертывающимися. Рассмотрим несколько наиболее характерных разновидностей тех и других линейчатых поверхностей.

 

2.3.3.2.1 Развертывающиеся линейчатые поверхности

pr3_19-1.JPGРис. 2.3.19

Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. Очевидно, что все многогранные поверхности являются развертывающимися. Из кривых поверхностей этим свойством обладают только те линейчатые поверхности, которые имеют ребро возврата.
Существует только три вида линейчатых поверхностей, имеющих ребро возврата: торсы, конические и цилиндрические (Рис. 2.3.19) .

Торсы

Возьмем некоторую пространственную ломаную линию 1, 2, 3, 4, 5, 6,... и продолжим ее стороны так, как показано на рис. 2.3.19, а. В результате получим двухполую многогранную развертываемую поверхность. При неограниченном увеличении числа сторон ломаной линии с одновременным стремлением длины каждой из них к нулю и переходе к пределу получим:
pr3_19.JPGРис. 2.3.20

1) пространственная ломаная линия 1, 2, 3, 4, 5, б,...преобразуется в пространственную кривую линию m;
2) ребра многогранной поверхности преобразуются в касательные к пространственной кривой m;
3) многогранная поверхность преобразуется в линейчатую двухполую развертывающуюся кривую поверхность, которая называется торсом.

Множество всех касательных прямых к пространственной кривой представляет собой непрерывный каркас поверхности торса. Через каждую точку поверхности проходит одна касательная к кривой m. Таким образом, торс представляет собой поверхность, которая образуется непрерывным движением прямолинейной образующей, касающейся во всех своих положениях некоторой пространственной кривой линии. Направляющая пространственная кривая m (рис. 2.3.20, б) служит границей между двумя полостями поверхности торса и называется ребром возврата. Если взять на кривой m какую-либо точку В и провести через нее плоскость , пересекающую обе полости поверхности, то полученная в пересечении кривая АВС будет иметь так называемую точку возврата B. Следовательно, ребро возврата является множеством точек возврата кривых линий, полученных при пересечении данной поверхности различными плоскостями. Этим и объясняется ее название. Если ребром возврата является цилиндрическая винтовая линия, то такая поверхность называется развертывающимся геликоидом. Так как углы наклона всех образующих этой поверхности к плоскости, перпендикулярной оси винтовой линии, одинаковы, она является поверхностью одинакового ската.

Плоскость, перпендикулярная оси поверхности, пересекает ее по эвольвенте окружности. Свойством развертываемости торс обладает потому, что он является пределом некоторой развертывающейся многогранной поверхности. Геометрическая часть определителя торса состоит из ребра возврата. Алгоритмическая часть определителя торса состоит из указания о том, что образующая прямая при своем движении остается касательной к ребру возврата. Если ребро возврата выродится в собственную точку пространства, то образующие торса, проходя через нее, образуют коническую поверхность произвольного вида. Если эта точка (вырожденное ребро возврата) будет несобственной точкой пространства, то образующие торса, проходя через нее, окажутся параллельными между собой и образуют цилиндрическую поверхность общего вида. Таким образом, цилиндрическая и коническая поверхности обладают свойством развертываемости, так как являются частными случаями поверхности торса. Однако, чтобы задать коническую или цилиндрическую поверхности, недостаточно иметь только ребро возврата (собственную или несобственную точку) - положение образующей прямой не определяется одной точкой. Необходимо задать еще направляющую линию.
pr3_26.JPGРис. 2.3.20, 1 анимация

К вопросу о развертываемости кривой линейчатой поверхности можно подойти и с точки зрения дифференциальной геометрии, которая доказывает, что линейчатая поверхность является развертывающейся, если касательная плоскость, проведенная в какой-либо точке поверхности, касается ее по прямолинейной образующей поверхности, проходящей через эту точку. Таким свойством обладают только три вида поверхностей: торс, коническая и цилиндрическая.
Анимационный рис. 2.3.20. 1 показывает кинематику формирования торса, у которого в качестве направляющей взята винтовая линия. Поверхность образована перемещением прямой по направляющей пространственной кривой ( винтовой линии). В процессе движения в каждый момент времени образующая прямая является касательной к направляющей.

Цилиндрические поверхности

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и остающейся параллельной своему исходному положению (рис. 2.3.21). Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас цилиндрической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая.
pr3_20-1.JPGРис. 2.3.21

Неподвижная кривая m(m1 m2), по которой скользит образующая l(l1l2), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и цилиндрическая поверхность будет второго порядка. Геометрическая часть определителя цилиндрической поверхности состоит из направляющей линии m и исходного положения образующей l (рис. 2.3.21).
Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, пересекающая кривую m и параллельная прямой l. Цилиндрическая поверхность является бесконечной в направлении своих образуюших. Часть замкнутой цилиндрической поверхности, заключенная между двумя плоскими параллельными сечениями, называется цилиндром, а фигуры сечения - его основаниями (рис. 2.3.22, 2.3.23). Сечение цилиндрической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее образующим, называется нормальным. В зависимости от формы нормального сечения цилиндры бывают:
pr3_21.JPGРис. 2.3.22

1) круговые - нормальное сечение круг (рис. 2.3.22);
2) эллиптические - нормальное сечение эллипс (рис. 2.3.23);
3) параболические - нормальное сечение парабола;
4) гиперболические - нормальное сечение гипербола;
5) общего вида - нормальное сечение кривая случайного вида (рис. 2.3.20). Если за основание цилиндра принимается его нормальное сечение, цилиндр называют прямым (2.3.22, а).
Если за основание цилиндра принимается одно из косых сечений, цилиндр называют наклонным (рис. 2.3.22, б, 2.3.23, б, в).
Наклонные сечения прямого кругового цилиндра являются эллипсами (сечения плоскостями (2) и '(' 2) на рис. 2.3.22, а). На рис. 2.3.22, б изображен наклонный цилиндр, основаниями которого являются косые сечения (эллипсы).
pr3_22.JPGРис. 2.3.23

Наклонные сечения прямого эллиптического цилиндра в общем случае - эллипсы. Однако его всегда можно пересечь плоскостью, наклонной к его образующим, таким образом, что в сечении получится круг. Эллиптический цилиндр имеет две системы круговых сечений (построение их рассмотрено в гл. 4). На рис. 2.3.23, а показаны плоскости Г(Г2) и Г'(Г'2), пересекающие эллиптический цилиндр по окружностям. На рис. 2.3.23, б, в выполнены чертежи наклонных эллиптических цилиндров, основаниями которых являются их круговые сечения.

Конические поверхности

Коническая поверхность образуется движением прямой линии, скользящей по некоторой неподвижной замкнутой или незамкнутой кривой и проходящей во всех своих положениях через неподвижную точку (рис. 2.3.24).
pr3_23-1.JPGРис. 2.3.24

Неподвижная кривая m(m1,m2), по которой скользит образующая l(l1,l2), называется направляющей. Если направляющая линия является кривой второго порядка, то и коническая поверхность будет второго порядка. Неподвижная точка S(S1,S2), делящая поверхность на две бесконечные полы, называется вершиной. Множество прямолинейных образующих представляет собой непрерывный каркас конической поверхности. Через каждую точку поверхности проходит одна прямолинейная образующая (исключением является только вершина S, которая называется "особой точкой поверхности". Геометрическая часть определителя конической поверхности состоит из направляющей кривой m и вершины S.
Алгоритмическая часть определителя состоит из указания о том, что любая образующая поверхности может быть построена как прямая, проходящая через вершину S и пересекающая кривую m. Часть замкнутой конической поверхности, ограниченная вершиной и какой-либо плоскостью, пересекающей все ее образующие, называется конусом. Фигура сечения конической поверхности этой плоскостью называется основанием конуса. Сечение конической поверхности плоскостью, перпендикулярной ее оси, называется нормальным. Осью конической поверхности называется линия пересечения ее плоскостей симметрии. Следовательно, не все конические поверхности имеют ось, а только те, которые имеют не меньше двух плоскостей симметрии.
Конические поверхности, не имеющие оси (а следовательно, и нормального сечения), называются коническими поверхностями общего вида.

pr3_24.JPGРис. 2.3.25

Конические поверхности, имеющие ось, в зависимости от вида нормального сечения бывают:
1) круговые - нормальное сечение круг (рис. 2.3.25);
2) эллиптические - нормальное сечение эллипс (рис. 2.3.26) и другие.
Если за основание конуса принимается фигура его нормального сечения, конус называют прямым, если иное сечение - наклонным. Прямой круговой конус изображен на рис. 2.3.25, а, наклонный круговой конус - на рис. 2.3.25, б. Основанием такого конуса может быть только эллипс (см. раздел 4), ось его не проходит через центр основания.
Прямой эллиптический конус показан на рис. 2.3.26, а. Эллиптический конус (так же как и эллиптический цилиндр) имеет две системы круговых сечений. Построение круговых сечений поверхностей второго порядка рассматривается в разделе 4.3.

pr3_25.JPGРис. 2.3.26

Если принять одно из них за основание конуса, получим наклонный эллиптический конус с круговым основанием (рис. 2.3.26, б). Ось наклонного конуса не проходит через центр основания. Заметим, что у всех развертывающихся линейчатых поверхностей две смежные образующие либо пересекаются (торс, коническая поверхность), либо параллельны (цилиндрическая поверхность).

 

 


[назад]     [предыдущий подраздел] [следующий подраздел]

Начертательная геометрия и инженерная графика, перспектива