Информатика и информационные технологии Электротехника История искусства Каталог графических примеров

ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Линия пересечения двух поверхностей второго порядка в общем случае представляет собой алгебраическую кривую четвертого порядка. В частных случаях она может распадаться на линии низших порядков, сумма порядков которых равна четырем:
а) на четыре прямые - 1 + 1 + 1 + 1 (рис. 4.56, a). Общие образующие m, m', n, n', по которым пересекаются два цилиндра с параллельными осями, являются частями распавшейся кривой;

pr4_56.JPGРис. 4.56

б) на две прямые и кривую второго порядка - 1 + 1 +2 (рис. 4.56, б);
в) на прямую и кривую третьего порядка - 1 + 3;
г) на две кривые второго порядка - 2+2 (рис. 4.57, 4.58, 4.59).
Признаки распадения кривой четвертого порядка на две кривые второго порядка сформулированы в следующих теоремах: Непосредственное применение условий равновесия в геометрической форме дает наиболее простое решение для системы трех сходящихся сил. При наличии в системе четырех и более сил рациональнее применять аналитический метод, который является универсальным и применяется чаще, всего.
Теорема 1 . Если две поверхности второго порядка пересекаются по одной плоской кривой (1 - 5 - 2 - 6 на рис. 4.57), то они пересекаются еще по одной кривой, которая тоже будет плоской (3 - 5 - 4 - 6 на рис. 4.57).

pr4_57.JPGРис. 4.57

Примечание. Плоская кривая, принадлежащая поверхности второго порядка, является кривой второго порядка.
Теорема 2. Если две поверхности второго порядка имеют касание в двух точках (1 и 2 на рис. 4.58), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки касания.
Сфера, имеющая двойное касание с поверхностью второго порядка (рис. 4.59), может быть использована для нахождения круговых сечений тех поверхностей второго порядка, которые их имеют.
pr4_58.JPGРис. 4.58pr4_59.JPGРис. 4.59

Пусть требуется найти круговые сечения эллиптического цилиндра (рис. 4.59). Проведем сферу с центром на оси цилиндра и диаметром, равным длине отрезка /1 - 2/ - большой оси эллипса. Эта сфера будет касаться двух образующих цилиндра в точках 1 и 2. Линия пересечения со сферой распадается на две окружности, расположенные в профильно проецирующих плоскостях и '. Полученные окружности определяют два семейства круговых сечений эллиптического цилиндра.
pr4_60.JPGРис. 4.60

Теорема 3 (теорема Монжа).Если две поверхности второго порядка описаны около третьей или вписаны в не<(рис. 4.60), то линия их пересечения распадается на две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания (прямая 5 - 6 ).
Теорема Монжа является частным случаем теоремы 2. Построение проекций указанных выше кривых второго порядка (рис. 4.58, 4.58, 4.59, 4.60) ясно из чертежей.

pr4_1.JPGРис. 4.61(анимация)pr4_1.JPGРис. 4.62(анимация)

Заканчивая рассмотрение второй позиционной задачи на пересечение поверхностей, приведем несколько динамических сцен, демонстрирующих процесс взаимного пересечения поверхностей. На рис.4.61 показано пересечение поверхностей сферы и эллиптическогo цилиндра. На рис. 4.62 сфера пересекается с пирамидой, а на рис. 4.63 показано пересечение двух кривых поверхностей.
pr4_1.JPGРис. 4.63 (анимация)


[назад]     [предыдущий подраздел] [следующая глава]

Начертательная геометрия и инженерная графика, перспектива