Информатика и информационные технологии Электротехника История искусства Каталог графических примеров

МЕТОД ПРОЕЦИРОВАНИЯ

 

1.1. Центральное проецирование
1.2. Параллельное проецирование
1.3. Инварианты параллельного проецирования
1.4. Ортогональное проецирование

 

 

1.1. ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ.
ПОНЯТИЕ О ПРОЕКТИВНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

Для того чтобы построить проекцию некоторой точки А, выбирается произвольная плоскость П1, называемая плоскостью проекций, и точка S, не принадлежащая плоскости П1, называемая центром проекций (рис. 1.1).

pr1_21.JPGРис.1.1 (анимационный)

Операция проецирования состоит в том, что через точки S и А проводится прямая до пересечения с плоскостью П1. Напомним, что для просмотра процесса построения точки во времени (в динамике) необходимо навести графический курсор с помощью мыши на соответствующий рисунок. Для просмотра анимации на полном экране произведите на изображении щелчок левой кнопкой. Прямая SА называется проецирующей прямой, а точка А1, пересечения проецирующей прямой с плоскостью проекций П1, - центральной проекцией точки А. На плоскости П1, можно построить центральные проекции всех точек пространства, за исключением тех, которые принадлежат плоскости П1', проходящей через центр проекций S и параллельной П1. В этом случае проецирующие прямые оказываются параллельными плоскости П1 (прямая SC на рис. 1.1) и точек пересечения их с плоскостью в обычном смысле нет. Этот недостаток центрального проецирования устраняется дополнением евклидова пространства так называемыми бесконечно удаленными или несобственными элементами.
Пространство Евклида, дополненное несобственными элементами, называется проективным. Плоская система сходящихся сил Геометрический метод сложения сил, приложенных в одной точке Силы называют сходящимися, если их линии действия пересекаются в одной точке. Различают плоскую систему сходящихся сил, когда линии действия всех данных сил лежат в одной плоскости, и пространственную систему сходящихся сил, когда линии действия сил лежат в разных плоскостях. Решение метрических задач Машиностроительное черчение
Сущность введения несобственных элементов заключается в следующем:
1) каждая прямая, кроме множества обыкновенных точек, имеет одну несобственную; несобственная точка прямой есть эквивалент понятия направление прямой;
2) параллельные прямые имеют общую несобственную точку (пересекаются в ней);
3) плоскость имеет множество несобственных точек, которые образуют несобственную прямую плоскости;
4) параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую (пересекаются по несобственной прямой);
5) множество всех несобственных точек и прямых пространства образует несобственную плоскость.
Дополнение евклидова пространства несобственными элементами позволяет ликвидировать исключения в основных положениях элементарной геометрии и утверждать:
1) каждые две прямые, принадлежащие одной плоскости, всегда пересекаются (в собственной или несобственной точках);
2) две любые плоскости пространства всегда пересекаются (линия пересечения - собственная или несобственная прямая);
3) прямая и плоскость всегда пересекаются (в собственной или несобственной точках). следовательно, проекцией точки C, принадлежащей плоскости П1' П1 будет несобственная точка C1.
Описанным методом центрального проецирования может быть построена проекция любой точки геометрической фигуры, а следовательно, и проекция самой фигуры. Например, центральной проекцией отрезка [AB] на плоскости П1 является множество центральных проекций всех точек отрезка [AВ] [A1B1] (рис. 1.2). pr1_31.JPG

Рис. 1.2 (анимационный)

При центральном проецировании происходит искажение формы, размеров и некоторых других свойств предмета (рис. 1.3). Вместе с тем, нетрудно заметить, что часть свойств сохраняется, например, проекция точки является точкой; проекция прямой - тоже прямая линия; если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции той же прямой; точка пересечения прямых проецируется в точку пересечения их проекций. Проекция предмета, построенная методом центрального проецирования, называется перспективой (рис. 1.3).
Построение проекций заданного объекта называется прямой задачей начертательной геометрии. Нетрудно заметить, что метод центрального проецирования позволяет решать ее однозначно: каждая точка имеет на плоскости П1 единственную проекцию, так как проецирующая прямая пересекается с плоскостью П1 в одной точке. Так, точка А (рис. 1.1) имеет на плоскости П1 единственную проекцию А1, отрезок [ВС] - единственную проекцию [В1С1], любая геометрическая фигура - единственную проекцию. pr1_4.JPG

Рис. 1.3

В практической деятельности необходимо уметь не только создавать чертежи, но и читать их, т. е. судить по чертежу однозначно о самом предмете. Определение формы и размеров объекта по его чертежу называется обратной задачей начертательной геометрии. Одна проекция - точки не определяет ее положения в пространстве, так как может быть проекцией любой точки, принадлежащей проецирующей прямой. Так, точка А1 (рис. 1.1) может быть проекцией любой точки, принадлежащей прямой SА; [A1B1] на рис.1.2 - проекцией любой линии, принадлежащей проецирующей плоскости, определяемой точкой S и прямой ВС. Следовательно, одна проекция объекта не позволяет судить о его форме и размерах, т. е. однопроекционный чертеж является необратимым.

[назад]

 

1.2. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ.

Если за центр проекций принять несобственную точку S пространства, то проецирующие прямые АА1, ВВ1,... будут параллельными между собой. Для их построения вместо отсутствующей на чертеже точки S задают направление проецирования s (рис. 1.4). pr2_11.JPG

Рис. 1.4

Такой вид проецирования называется параллельным, а точки А1, В1, D1... пересечения проецирующих прямых с плоскостью проекций П1 - параллельными проекциями точек А, В, D,... пространства. Очевидно, что при параллельном проецировании, так же как и при центральном, каждая точка пространства имеет на плоскости П1 одну проекцию, но эта проекция не определяет положения точки в пространстве. Следовательно, однопроекционный чертеж, полученный методом параллельного проецирования, тоже необратим (рис. 1.5). Различают прямоугольное (ортогональное) и косоугольное параллельное проецирование, в зависимости от угла, образованного направлением проецирования с плоскостью проекций. pr1_6.JPG

Рис. 1.5

Параллельное проецирование, являясь частным случаем центрального (центр проекций - несобственная точка S, задаваемая направлением s), помимо свойств, указанных в предыдущем параграфе, сохраняет еще параллельность прямых и отношение длин их отрезков. Свойства геометрических фигур, которые сохраняются при данном виде проецирования, называются его инвариантами.

[назад]

 

1.3. ИНВАРИАНТЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ

1. Проекция точки на плоскость есть точка (рис. 1.4)

A A1.

2. Проекция прямой в общем случае прямая: l l1, (рис. 1.6); она вырождается в точку, если прямая параллельна направлению проецирования:

pr2_12.JPGРис. 1.6pr2_13.JPG Рис. 1.7

3. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии (рис. 1.6):

A l A1 l1

Следствие из пп. 2 и 3. Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух принадлежащих ей точек (рис. 3):

A l B l A1 l1 Bl l1

4. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения их проекций (рис. 1.6):

К = а b K1 = а1 b1

5. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 1.7):

l l' l1 l1'

Следствия:
1) отношение длин отрезков параллельных прямых равно отношению длин их проекций (рис. 1.7):

2) если точка, принадлежащая отрезку прямой, делит его в некотором отношении, то проекция точки делит проекцию отрезка в том же отношении (рис. 1.6):

6. Если геометрическая фигура Ф принадлежит плоскости , параллельной плоскости проекций (например, П1), то проекция этой фигуры на плоскость П1 конгруэнтна самой фигуре:

Например, если отрезок МN параллелен плоскости проекций, то его проекция на данную плоскость конгруэнтна самому отрезку (рис. 1.7):

7. Проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций (рис. 1.5 - анимация). pr2_7.JPG

Рис. 1.8 (анимационный)

Внимание:
Подумайте, проанализируйте чертежи и докажите справедливость перечисленных инвариантов параллельного проецирования. Рассмотренные свойства (инварианты) параллельного проецирования сохраняются при любом направлении проецирования.

Примечание.
Метрические характеристики геометрических фигур при параллельном проецировании в общем случае не сохраняются (происходит искажение линейных и угловых величин).

[назад]

 

1.4. ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ.

Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, параллельное проецирование называется ортогональным (прямоугольным)
s П1(AA1) П1. В этом случае проекция А1, точки А называется ортогональной, или прямоугольной (рис. 1.9). В противном случае проецирование называется косоугольным.

pr2_14.JPGРис. 1.9

Ортогональное проецирование, являясь частным случаем параллельного, значительно упрощает построение проекций геометрических фигур и является основным при выполнении комплексных чертежей технических форм (рис. 1.10). Рассмотренные в предыдущих параграфах однопроекционные чертежи геометрических фигур являются необратимыми.



pr1_51.JPGPис. 1.10pr2_20.JPG Рис 1.11

По ним нельзя мысленно воссоздать пространственную форму и размеры изображенного объекта. Существуют различные способы устранения этого недостатка однопроекционных чертежей в зависимости от принятого вида проецирования. Например, при центральном проецировании точку можно проецировать из двух различных центров (рис. 1.12), при параллельном - при помощи двух различных направлений, при ортогональном - на две пересекающиеся плоскости. Нетрудно заметить, что в каждом из этих случаев получаются две проекции А1, и А'1, точки А, однозначно определяющие ее положение в пространстве. Следовательно, обратимый чертеж геометрической фигуры должен содержать не менее двух проекций каждой ее точки.

pr2_15.JPGРис. 1.12

При построении ортогональных проекций точки на две пересекающиеся плоскости проекций П1 и П2 (рис. 1.12) угол между ними принимается равным 90o. В технике применяются следующие виды обратимых чертежей:
1) комплексные, 2) аксонометрические, 3) перспективные, 4) чертежи с числовыми отметками. В пособии рассматривается первый вид чертежей.


[назад]   [следующий раздел]

Начертательная геометрия и инженерная графика, перспектива