Информатика и информационные технологии Электротехника История искусства Каталог графических примеров

ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК ПОВЕРХНОСТЕЙ

 

7.1. Построение разверток многогранников
7.2. Построение разверток кривых развертывающихся поверхностей
7.3. Построение условных разверток неразвертывающихся поверхностей

Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. При этом исходим из представления поверхности как гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки. Свойством развертываемости обладают многогранные поверхности и кривые линейчатые поверхности с ребром возврата: торсы, конические и цилиндрические.
Линейчатые косые и нелинейчатые поверхности этим свойством не обладают. Существуют различные способы построения их условных разверток при помощи аппроксимации.
Плоская фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой. Между поверхностью и ее разверткой существует взаимно-однозначное точечное соответствие (точке А на поверхности соответствует точка А' на развертке, и наоборот), обладающее следующими свойствами (рис. 7.1):

pr7_1.JPGРис. 7.1

1) длина участка АВ линии l на поверхности равна длине участка А'В' соответствующей ей линии l на развертке; Основные ограничения при выборе коэффициентов смещения Согласно свойствам эвольвентного зацепления прямолинейная, т.е. эвольвентная, часть ИПК и эвольвентная часть профиля зуба колеса располагаются касательно друг к другу только на линии станочного зацепления, начинающейся в точке N. Теория машин и механизмов
2) угол между кривыми m и n на поверхности равен углу ' между соответствующими им кривыми m' и n' на развертке (углом между кривыми называется угол между касательными к ним в точке пересечения);
3) площадь отсека F поверхности равна площади соответствующего ему отсека F' развертки.
В дифференциальной геометрии доказывается, что второе и третье свойства являются следствием первого. Первое свойство вытекает из представления поверхности как гибкой, но нерастяжимой и несжимаемой пленки.
Из рассмотренных свойств следует:
1) прямой линии (a) на поверхности соответствует прямая (а') на развертке;
2) прямым, параллельным (а b) на поверхности, соответствуют прямые, параллельные (a' b') на развертке.
Однако оба указанных свойства обратной силы не имеют, т. е. не всякой прямой на развертке соответствует прямая на поверхности. Примерами этого могут служить цилиндрическая винтовая линия, параллели поверхности вращения. Если кривой линии, принадлежащей поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта кривая линия является геодезической для данной поверхности.

7.1. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК МНОГОГРАННИКОВ

Развертка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную при совмещении всех его граней с плоскостью. Следовательно, построение развертки многогранника сводится к построению истинных величин его граней. Выполнение этой операции связано с определением натуральных величин его ребер, которые являются сторонами многоугольников - граней, а иногда и некоторых других элементов. Ребра многогранника условно разделяются на боковые и стороны основания.
Построение развертки пирамиды
Боковые грани любой пирамиды являются треугольниками. Для построения развертки пирамиды (рис. 7.2 ) необходимо предварительно определить натуральные величины боковых ребер и сторон основания.
pr7_2.JPGРис. 7.2

У изображенной на рисунке пирамиды стороны основания являются горизонталями и проецируются на плоскость П1 в истинную величину. Длины боковых ребер определены построением прямоугольных треугольников
S2M0C0, S2M0B0 и S2M0А0, у которых одним катетом является высота пирамиды (S2М0 - разность высот точки S и точек А, В, С), а другим - горизонтальная проекция соответствующего ребра.

(/M0C0/ = /S1C1/; /M0B0/ = /S1B1/; /M0A0/ = /S1A1/; /M0K0/ = /S1K1/).
Натуральные величины ребер пирамиды могут быть определены способом вращения вокруг оси, проходящей через вершину S и перпендикулярной плоскости П1. Следующая операция состоит в построении каждой боковой грани как треугольника по трем сторонам. В результате получается развертка боковой поверхности пирамиды в виде ряда примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Присоединив к полученной фигуре основание (АВС), получим полную развертку пирамиды. Построение на развертке точки 1, принадлежащей поверхности пирамиды, понятно из чертежа. На рис. 7.3 показана динамическая схема развертки наклонной пирамиды.

Рис. 7.3(анимационный)

Построение развертки призмы
Наклонная призма изображена на рис. 7.4. Призма расположена так, что ее боковые ребра параллельны плоскости П2 и проецируются на нее в натуральную величину. Стороны оснований являются горизонталями и проецируются на плоскость П1 без искажения. Таким образом, длины сторон каждой грани известны, однако этого еще недостаточно для построения истинной формы боковых граней.

pr7_4.JPGРис. 7.4

Боковые грани наклонной призмы являются параллелограммами, которые не могут быть построены по четырем сторонам. Для построения параллелограмма необходимо помимо длины сторон знать еще его высоту. Для определения высот граней пересечем призму плоскостью (2), перпендикулярной к ребрам, и определим истинную величину сечения способом замены плоскостей проекций. Стороны этого нормального сечения и будут высотами соответствующих граней. Теперь приступаем к построению развертки. На свободном месте чертежа проводим горизонтальную прямую m и откладываем на ней отрезки /1 - 2/ = /14 - 24/, /2 - З/ = /24 - 34/ и /3 - 1/ = /34 - 14/.

Рис. 7.5(анимационный)

Через точки 1, 2, 3, 1 проводим перпендикуляры к прямой m и откладываем на них величины боковых ребер так, чтобы /А1/ = /А212/ и /1К/ = /12К2/, /В2/ = /В222/ и /2L/ = /22L2/ и т. п.
Соединив концы построенных отрезков, получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединив к ней оба основания, получим полную развертку призмы. Построение на развертке точки 4, принадлежащей поверхности призмы, понятно из чертежа. На рис. 7.5 показана динамическая схема развертки поверхности наклонной призмы.

7.2. ПОСТРОЕНИЕ РАЗВЕРТОК КРИВЫХ РАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Построение точных разверток кривых развертывающихся поверхностей сложно и, как правило, не вызывается практической необходимостью. Поэтому обычно строят приближенные развертки поверхностей, вполне пригодные для практических целей. Основным способом построения приближенных разверток развертывающихся поверхностей (кроме цилиндрических) является способ триангуляции поверхности. Способ триангуляции состоит в том, что кривая поверхность заменяется многогранной поверхностью, состоящей из треугольных граней. Рассмотрим применение способа триангуляции к построению развертки эллиптического конуса, изображенного на чертеже (рис. 7.6).

pr7_6.JPGРис. 7.6

Триангуляция конической поверхности осуществляется вписыванием в нее пирамидальной поверхности, которая определяется ломаной 1 - 2 - 3 - 4, ..., вписанной в направляющую кривую конуса, и вершиной S. Развертка этой n-угольной пирамиды и принимается за развертку конуса. Все построения на чертеже (рис. 7.6) выполняются аналогично построениям на чертеже (рис.7.2). Ломаная линия 1 - 2 - 3 - 4, ..., получающаяся на развертке пирамиды, заменяется плавной кривой, проходящей через те же точки.
Развертка прямого кругового конуса, образующая которого равна / l / и радиус основания / r /, имеет форму кругового сектора с радиусом равным / l / и центральным углом = 360o| r | / | l | - (рис. 7.7).

pr7_7.JPGРис. 7.7Рис. 7.8(анимация)

На рис. 7.8 показана динамическая схема развертки прямогo кругового конуса.
При построении разверток цилиндрических поверхностей способ триангуляции, как правило, не применяется.

pr7_9.JPGРис. 7.9

Цилиндрическая поверхность заменяется (аппроксимируется) вписанной в нее призматической поверхностью, которая определяется ломаной 1 - 2 - 3 - 4, ..., вписанной в направляющую кривую цилиндра, и направлением образуюших. Развертка этой п-угольной призмы и принимается за развертку цилиндра (рис. 7.9).
Все построения выполняются, как на рис. 7.4. Ломаная линия
1 - 2 - 3 - 4, ..., получающаяся на развертке призмы, заменяется плавной кривой, проходящей через те же точки. Развертка боковой поверхности прямого кругового цилиндра представляет собой прямоугольник со сторонами, соответственно равными 2пr и h, где r - радиус окружности основания цилиндра, а h - его высота. На рис. 7.10 показана динамическая схема развертки прямогo кругового цилиндра.

Рис. 7.10(анимационный)

7.3. ПОСТРОЕНИЕ УСЛОВНЫХ РАЗВЕРТОК НЕРАЗВЕРТЫВАЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Развертку неразвертывающейся поверхности построить нельзя. Для построения условной развертки такой поверхности применяют метод аппроксимации, который заключается в следующем.
Данная неразвертываюшаяся поверхность Ф разбивается на некоторые отсеки. Каждый из этих отсеков заменяется отсеком кривой развертывающейся поверхности. Совокупность всех отсеков развертывающихся поверхностей называется обводом Ф' поверхности Ф. С помощью триангуляции обвод Ф' заменяется обводом Ф" гранных поверхностей. Развертка гранных поверхностей, образующих обвод Ф", принимается за условную развертку поверхности Ф. При свертывании такой развертки, кроме изгибания, необходимо произвести частичное растяжение или сжатие отдельных ее участков.
Рассмотрим применение этого способа на примере построения условной развертки сферы.
Разделим поверхность сферы (рис. 7.11, а) на некоторое число (например, шесть) одинаковых отсеков при помощи осевых плоскостей , , .

pr7_11.JPGРис. 7.11

Поверхность каждого отсека сферы заменим отсеком описанной цилиндрической поверхности. В результате поверхность сферы заменяется обводом (составной поверхностью), составленным из отсеков прямых круговых цилиндров.
Поверхность каждого отсека цилиндрической поверхности заменим отсеком вписанной призматической поверхности (рис. 7.11, б). В результате обвод, составленный из отсеков цилиндров, заменяется обводом, составленным из гранных поверхностей (отсеков прямых призм).
Строим развертку каждого отсека призматической поверхности. На чертеже (рис. 7.11, в) показана развертка одного из них. Затем ломаная 1 - 3 - 5 - 7... заменяется плавной кривой, проходящей через те же точки (рис. 7.11, г). Полученная фигура принимается за условную развертку отсека сферы. Полная развертка будет состоять из шести таких фигур (рис. 7.11, д).

Рис. 7.12(анимационный)

На рис. 7.12 показана динамическая сцена приближенной развертки сферы.
Применяя в качестве аппроксимирующих поверхностей цилиндрические, конические или торсовые поверхности, аналогично можно строить условные развертки других неразвертывающихся поверхностей.

 


[назад]     [предыдущая глава] [следующая глава]

Начертательная геометрия и инженерная графика, перспектива