Конспект по начертательной геометрии Инженерная графика Архитектура ЭВМ Информатика и информационные технологии

Предыдущая страница !Физические основы механикиСледующая страница !


8. Элементы специальной теории относительности

8.1. Преобразования Галилея - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого СОБЫТИЯ в двух инерциальных системах отсчета. СОБЫТИЕ определяется местом, где оно произошло (координаты x, y, z), и моментом времени t, когда произошло событие. Событие полностью определено, если заданы четыре числа: x,y,z,t - координаты события.

Пусть материальная точка m в системе отсчета К в момент времени t имела координаты x, y, z, т.е. в системе К заданы координаты события - t, х, y, z. Задача 2. Электрон, ускоренный разностью потенциалов 6 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом 30º к направлению поля и начинает двигаться по спирали.

Найдем координаты t', x', y', z' этого события в системе отсчета К', которая движется относительно системы К равномерно и прямолинейно вдоль оси х со скоростью .

Выберем начало отсчета времени так, чтобы в момент времени t = 0 начала координат совпадали. Оси х и х' направлены вдоль одной прямой, а оси у и у', z и z' - параллельны. Характеристики магнитного поля в магнетиках Магнитное поле в магнетиках  является результатом суперпозиции внешнего поля  и собственного магнитного поля магнетика : .

Тогда из рисунка ОЧЕВИДНО:

x = x'+Vt .


Кроме того, ясно, что для наших систем координат Экспериментально полученный закон Ампера позволяет описать поведение проводника с током во внешнем магнитном поле:  (10), где I – сила тока в проводнике, l – длина проводника, B – индукция внешнего магнитного поля. Так как сила является результатом векторного произведения, вектор должен быть перпендикулярен плоскости векторов элемента тока и магнитной индукции . Отметим, что в магнитостатике, как и в электродинамике, сила тока является скалярной величиной, поэтому, направление имеет элемент длины контура или элемент тока .

y = y',
z = z'.


В механике Ньютона предполагается, что

t = t',


т.е. время течет одинаково во всех системах отсчета.
Полученные четыре формулы и есть преобразования Галилея:

x = x' + Vt,
y = y',
z = z',
t = t'.

8.2. Принцип относительности Галилея:

Никакими механическими опытами нельзя установить, покоится ли данная система отсчета или движется равномерно и прямолинейно.
Это утверждение согласуется с преобразованиями Галилея. Продифференцируем их 2 раза по времени. После первого дифференцирования получим закон сложения скоростей:
, ,
,т.е., по (3.8): ,
, ,

     Второе дифференцирование дает
, ,
,т.е., по (3.10): ,
, .

Ускорение материальной точки одинаково в обеих системах отсчета. Кроме того, силы, действующие на частицу, одинаковы, не изменяется и величина m (по определению, это масса покоя).

Значит, в системе К второй закон Ньютона

,

такой же, как и в системе К'

,

т.к. a = a' - следствие преобразований Галилея.
Иными словами, на теоретическом уровне, принцип относительности Галилея можно сформулировать так :

Законы механики одинаково выглядят во всех инерциальных системах отсчета.

8.3. Неудовлетворительность механики Ньютона при больших скоростях

Рассмотрим с точки зрения преобразований Галилея движение света.

В системе К' его скорость v'x= c. Тогда, используя полученный закон сложения скоростей из 8.2. для скорости света в системе К мы найдем:

Опубликованные в 1881 г. результаты опытов, выполненных американским физиком А. Майкельсоном, находятся в противоречии с только что полученной нами формулой: галилеевский закон сложения скоростей не годится для света. Скорость света оказалась одинаковой в разных системах отсчета!

В 1895 г. французский математик, физик и философ А. Пуанкаре впервые выступил с новаторским предложением о невозможности никакими физическими опытами (не только механическими, как в принципе относительности Галилея) зарегистрировать абсолютное движение. В 1902 г. он же публикует в книге "Наука и гипотеза" утверждение об отсутствии абсолютного времени, т.е. t ≠ t'.

Законченная теория, позволяющая описывать движение частиц со скоростями v → с, была опубликована в 1905 г. в работах А. Пуанкаре и А. Эйнштейна.

8.4. Постулаты С.Т.О.
Механика больших скоростей, специальная теория относительности (С.Т.О.),
базируется на двух исходных утверждениях, постулатах:

  1. Принцип относительности, согласно которому
    никакими физическими опытами нельзя установить, покоится ли данная система отсчета, либо движется равномерно и прямолинейно.
    Другая формулировка:
    Все законы природы одинаково формулируются для всех инерциальных систем отсчета .
  2. Принцип постоянства скорости света:
    cкорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не зависит ни от движения источника, ни от движения приемника света .

8.5. Преобразования Лоренца - это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события(8.1) в двух инерциальных системах отсчета. В отличие от преобразований Галилея преобразования Лоренца не должны противоречить постулатам С.Т.О.: необнаружимости абсолютного движения и постоянству скорости света. При скорости движения системы отсчета V<< c преобразования Лоренца должны переходить в преобразования Галилея.

8.5.1. Вывод преобразований Лоренца

Для вывода преобразований Лоренца рассмотрим в двух системах отсчета мысленный опыт. Одна система К - неподвижна, другая К' движется вдоль оси х со скоростью V. Пусть в момент времени t = t' = 0, когда начала систем координат совпадали, в этом начале произошла вспышка света и стала распространяться сферическая световая волна. В соответствии с постулатом I фронт этой волны будет сферой в обеих системах отсчета, сфера эта будет, в соответствии с постулатом II, увеличивать свой радиус со скоростью света и в той, и в другой системе отсчета.

Опираясь на эти требования, найдем вид правильных преобразований координат и времени. В качестве пробного возьмем преобразование Галилея, а затем его подправим.
Фронт световой волны в системе К - это сфера радиуса ct:

x2 + y2 + z2 = c2t2:

В системе К' уравнение фронта этой волны, в соответствии с постулатами I и II

(x')2+(y')2+(z')2=c2 (t')2,

пробуем преобразования Галилея, переходим в К:
(x')2 = (x - Vt)2,
(y')2 = y2,
(z')2 = z2,
(t')2 = t2,
отсюда следует:

x2 - 2Vxt + V2t2 + y2 + z2 = c2t2,

сравните с

(x')2+(y')2+(z')2 = c2(t')2.

Появились ЛИШНИЕ ЧЛЕНЫ, надо так изменить преобразования, чтобы они исчезли.
Пробуем преобразования:

x' = x- Vt, y'=y, z'=z, t'=t-αx

x2 - 2Vxt + V2t2 + y2 + z2 = c2t2 - 2c2αxt + c2α2x2

приравниваем подчеркнутые члены,
получаем:

При таком α остается:

Перегруппируем члены:

Подправим преобразование так, чтобы исчезли выражения в скобках, для этого возьмем

Такие преобразования сохраняют вид уравнения фронта световой волны, сфера преобразуется в сферу, в соответствии с постулатами С.Т.О.
Обозначим, для удобства записи,

тогда преобразования Лоренца запишутся так:
а) прямые  б) обратные
; ;
; ;
; ;
; .


Релятивистская механика должна быть построена таким образом, чтобы уравнения движения не менялись при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, т.е. были инвариантны относительно преобразований Лоренца.


8.6. Следствия из преобразований Лоренца

8.6.1. Одновременность событий в разных системах отсчета

В системе K' одновременно (в момент времени t'), нo в разных местах (x'1 и, x'2) произошли два события.

Время первого события в системе К:

,

второго

.

Видно, что t2> t1, т. к. x'2>x'1.      В системе К события не одновременны.

8.6.2. Промежуток времени между двумя событиями

Пусть в системе К' в одной и той же точке с координатой х' происходят в моменты времени t'1 и t'2 два события (например, две вспышки света). В этой системе промежуток времени между событиями:
В системе К:

.

.

Т.к. γ   всегда больше единицы, то Δt > Δt'.

8.6.3. Длина тела в разных системах отсчета

Пусть стержень длины l0 лежит вдоль оси x' в системе К'. Как измерить его длину в системе К, относительно которой он движется?

Мы, в системе К, должны в один и тот же момент времени t (по чаcам системы К) измерить координаты начала и конца стержня. Их разница и будет длиной движущегося стержня. Тогда:

,

.

8.6.4. Преобразование скоростей

Пусть материальная точка движется в системе К со скоростью .
Система K' движется со скоростью относительно K.

.

Компоненты скорости материальной точки (3.8.2.):

Т.к.

;

То

;      ;      .

Это формулы релятивистского преобразования скоростей, они дают связь между компонентами скорости частицы в различных системах отсчета: в системе K и в движущейся со скоростью V системе K'.

8.7. Релятивистская динамика

8.7.1. Релятивистский импульс

В классической механике     (4.5),  при v << c.

В релятивистской механике, где v → c,

.

Выражение для релятивистского импульса отличается от классического множителем γ.

8.7.2. Уравнение движения в релятивистской механике такое же, как и в классической (4.6)

      но      

8.7.3. Релятивистское выражение для энергии

8.7.3.1. Энергия покоя

При скорости материальной точки v=0

8.7.3.2. Кинетическая энергия (энергия движения)

.

8.7.3.3. Релятивистский инвариант

Из (8.7.3) и (8.7.1) следует, что

- inv, инвариант,

т.е. не зависит от выбора системы отсчета.

Начертательная геометрия и инженерная графика, перспектива