Конспект по начертательной геометрии Инженерная графика Архитектура ЭВМ Информатика и информационные технологии

19.3.2.3. Зависимость интенсивности дифракционной картины от угла дифракции

 

Разобьем щель на полоски шириной dx и изобразим векторную диаграмму колебаний, посылаемых этими полосками в точку наблюдения P. При φ = 0 колебания от всех полосок будут иметь одинаковую фазу. Результирующее колебание в точке P получится в результате сложения сонаправленных бесконечно малых векторов. Векторная диаграмма (14.3) в этом случае будет иметь вид вектора длиной A0.

Для колебаний приходящих от щели в точку наблюдения P, расположенную под углом φ, векторная диаграмма имеет вид дуги окружности длиной A0.

    

Замыкающий эту дугу вектор Aщ является амплитудой результирующего колебания от щели при произвольном угле φ. Фазовый угол δ соответствует максимальной разности хода, равной Δ = b Sinφ . Так как

,   см. (18.1.2.2), то

.

 

Величину вектора Aщ найдем из геометрических соображений.

      (по определению радианной меры угла).

Из треугольника COB:

.

Исключив R получим:

.

Интенсивность (16.5.4.) пропорциональна квадрату амплитуды, следовательно:

.

Учитывая связь δ с разностью хода Δ, получим связь интенсивности дифрагировавшего света с параметрами разбираемой задачи:

.

Здесь I0 - интенсивность при φ = 0.

График этой функции в осях I - Sinφ имеет следующий вид:


19.4 Дифракционная решетка

- это совокупность большого числа одинаковых щелей, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние. Расстояние d между соответственными точками соседних щелей называют периодом решетки:

d = a + b.


19.4.1. Условие главного максимума для дифракционной решетки

Пусть на дифракционную решетку с числом щелей N падает по нормали параллельный пучок света (плоская волна, 15.1.7) с длиной волны λ. Между экраном и решеткой поместим собирающую линзу. Экран расположим в фокальной плоскости линзы. По принципу Гюйгенса-Френеля (19.2) для нахождения амплитуды результирующего колебания в какой-либо точке P экрана наблюдения надо найти результат интерференции всех вторичных волн, с учетом их фаз и амплитуд. Линза собирает в точке P все параллельные лучи, идущие от решетки под углом φ.

Каждая щель создает колебания с амплитудой зависящей от φ (19.3.2.3).

.

Разность хода лучей, идущих от соответственных точек соседних щелей найдем из треугольника ABC:

.

При выполнении условия максимума (18.1.2.3)

,

таким образом, условие главного максимума для дифракционной решетки будет иметь следующий вид:

Целое число m называют порядком максимума. Колебания от соседних щелей при выполнении условия максимума в точку P будут приходить в одинаковой фазе. Результирующая амплитуда Aр, создаваемая в точке P решеткой будет в N раз больше амплитуды от одной щели:

.

Интенсивность света (16.5.4):

будет в N2 раз больше, чем интенсивность Iщ, создаваемая одной щелью.


19.4.2. Зависимость интенсивности дифракционной картины решетки от угла дифракции φ

Амплитуда результирующего колебания от N щелей, Ap(φ), есть результат многолучевой интерференции (18.3). Таким образом:

.

Здесь δ - разность фаз колебаний, идущих в точку P от соответственных точек соседних щелей. Выразим δ через Δ (18.1.2.2), а Δ из треугольника ABC:

Подставив Aщ, полученную в (19.3.2.3), получим зависимость амплитуды результирующего колебания, создаваемого решеткой для угла φ:

.

Для интенсивности (16.5.4) получим:

.

Здесь I0 - интенсивность, создаваемая одной щелью при φ = 0, первая дробь учитывает зависимость от интенсивности от φ одной щели, а вторая учитывает результат многолучевой интерференции N щелей.

При выполнении условия главного максимума d·Sinφ = mλ вторая дробь после раскрытия неопределенности по правилу Лопиталя дает N2. Таким образом, интенсивность в максимуме, как и было показано в (19.4.1), в N2 раз больше интенсивности, создаваемой одной щелью.


19.4.2.1. Минимумы интенсивности дифракционной картины решетки

Формально получить условия на φ при которых будут наблюдаться минимумы можно, если проанализировать на минимум только что полученное выражение I(φ). Анализ дает следующие результаты:

а) - это условие минимума для щели (19.3.2.2);

б) - это условие главного минимума для решетки. При выполнении этого условия колебания от соседних щелей приходят в точку P в противофазе и попарно гасят друг друга;

в) - целое число не кратное N.

Это условие добавочных минимумов. При k' кратном N получим условие максимума.

При выполнении условия добавочных минимумов векторная диаграмма сложения колебаний от N щелей замыкается: конец N-го вектора попадает в начало 1-го и результирующая амплитуда равна нулю. На рисунке ниже изображена эта ситуация для N = 6 (рис. а), k' = 1 и k' = 2 (рис. б). При k' = 2 векторы A1 и A4, A2 и A5, A3 и A6 расположены в одном месте.


19.4.2.2. Добавочные минимумы, ближайшие к главным максимумам

Если в условии добавочных минимумов (19.4.2.1,в) положить k' = 1, N ±1, 2N ±1,…, т.е. k' = mN ±1, m = 0, 1, 2, …, то получим условие для добавочных минимумов, ближайших к главным максимумам порядка m:

При разности хода d·Sinφ равной ±mλ наблюдается главный максимум порядка m. Добавка к разности хода величины λ/N дает условие минимума, ближайшего к главному максимуму. Эта добавка тем меньше, чем больше N - число щелей решетки, принимающих участие в образовании интерференционной картины. У хороших решеток d ≈ 10-6 м и при длине решетки lр = 1 см число щелей N = lр/d = 10000, что дает очень узкие главные максимумы, необходимые в спектральных приборах.


19.4.3. График интенсивности Ip(Sinφ )

Для наглядности графика возьмем решетку с очень малым числом щелей, = 4. Пусть, для определенности, постоянная решетки d в четыре раза больше ширины щели b, т.е. d = 4b, а длина волны λ = b/2. Найдем значения Sinφ , при которых будут наблюдаться максимумы и минимумы от нашей решетки:

Минимумы для щели (19.4.2.1,а):

Главные максимумы решетки (19.4.1):

Главные минимумы решетки:

Добавочные минимумы решетки:

Зависимость интенсивности дифракционной картины от Sinφ изображена на рисунке (расположенном ниже) сплошной линией. Бледная линия - огибающая дифракционной картины - это интенсивность дифракционной картины от одной щели, помноженная на N2 = 42 = 16.

 

19.3.2.3. Зависимость интенсивности дифракционной картины от угла дифракции

Начертательная геометрия и инженерная графика, перспектива